Question

sabendo que os graficos das funçoes f(x) = ax-b e g(x) = logbX se interceptam no ponto P(V3,1/2), então o produto ab é igual a: a) 7V3/2. b) V3/2. c) -5V3/2. d)-V3/2. e) 3/2.

Answer 1

$f(x)=ax-b\\ \\ g(x)=\mathrm{\ell og}_{b\,}x$

$P(\sqrt{3};\,2)=f \cap g$


O ponto de interseção entre os gráficos de $f$ e $g$ satisfaz a equação

$f(x)=g(x)$


Substituindo as coordenadas do ponto de interseção,

$f(\sqrt{3})=g(\sqrt{3})=\dfrac{1}{2}$


Analisando a segunda igualdade, temos

$g(\sqrt{3})=\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ \mathrm{\ell og}_{b\,}\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ b^{1/2}=\sqrt{3}\\ \\ (b^{1/2})^{2}=(\sqrt{3})^{2}\\ \\ b^{(1/2)\,\cdot\, 2}=(\sqrt{3})^{2}\\ \\ b^{1}=(\sqrt{3})^{2}\\ \\ b=3$


Conhecendo o valor de $b,$ podemos aplicar na função $f:$

$f(x)=ax-3$


Da primeira igualdade, tiramos que

$f(\sqrt{3})=\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ a\cdot (\sqrt{3})-3=\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ a\cdot (\sqrt{3})=\dfrac{1}{2}+3\\ \\ \\ a\cdot (\sqrt{3})=\dfrac{1+6}{2}\\ \\ \\ a\cdot (\sqrt{3})=\dfrac{7}{2}$



Multiplicando os dois lados por $2,$ temos

$a\cdot (2\sqrt{3})=7\\ \\ \\ a=\dfrac{7}{2\sqrt{3}}$


Calculando o produto $ab:$

$ab=\dfrac{7}{2\sqrt{3}}\cdot 3\\ \\ \\ ab=\dfrac{7\cdot 3}{2\sqrt{3}}$


Multiplicando o numerador e o denominador do lado direito por $\sqrt{3},$

$ab=\dfrac{7\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}\\ \\ \\ ab=\dfrac{7\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{2\cdot (\sqrt{3})^{2}}\\ \\ \\ ab=\dfrac{7\cdot \diagup\!\!\!\! 3\cdot \sqrt{3}}{2\cdot \diagup\!\!\!\!3}\\ \\ \\ ab=\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$


Resposta: alternativa $\text{a) }ab=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$