Question

Sabendo que os A(4 , −1),B(1 , 7), C(7 , r) são colineares, determine o valor de r.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{r=-9}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolver esta questão, devemos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Dados os pontos $(x_1,~y_1)$, $(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$, pela condição de alinhamento de três pontos, o determinante da matriz formada pelas coordenadas destes pontos da seguinte forma deve ser igual a zero:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}=0$

Substituindo as coordenadas dos pontos $A~(4,\,\,-1)$,  $B~(1,~7)$ e $C~(7,~r)$, ao resolvermos a equação, encontraremos o valor de $r$ que satisfaz a condição de alinhamento:

$\begin{vmatrix}4&-1&1\\1&7&1\\7&r&1\\\end{vmatrix}=0$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas

$\left|\begin{matrix}4 & -1 &1 \\ 1&7 &1 \\ 7& r & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}4 &-1 \\ 1 & 7\\ 7 &r \end{matrix}\right.=0$

Aplique a regra de Sarrus:

$4\cdot7\cdot 1+ (-1)\cdot 1\cdot 7+1\cdot 1\cdot r-((-1)\cdot1\cdot1+4\cdot1\cdot r+1\cdot 7\cdot7)=0$

Multiplique os valores

$28-7+ r-(-1+4r+49)=0$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$28-7+ r+1-4r-49=0$

Some os termos semelhantes

$-27-3r=0$

Some $27$ em ambos os lados da equação

$-3r=27$

Divida ambos os lados da equação por $-3$

$r=-9$

Este é o valor de $r$ que satisfaz a condição de alinhamento.