Question

Sabendo que o vetor ~v = (2, 1, −1) forma ângulo de 60o

com o vetor

−→AB

determinado pelos pontos A(3, 1, −2) e B(4, 0, m), calcular m.


alguém pode ajudar? ​

Answer 1

Resposta:

$m=-4$

Explicação passo-a-passo:

Vamos incialmente calcular $\vec{AB}$:

$\vec{AB}=B-A$

$\vec{AB}=(4,0,m)-(3,1,-2)$

$\vec{AB}=(1,-1,m+2)$

Sendo $\left \langle \vec{v},\vec{AB} \right \rangle$ igual ao produto escalar entre os vetores $\vec{v}$ e $\vec{AB}$, temos a seguinte relação entre este produto e o ângulo entre os vetores:

$\left \langle \vec{v},\vec{AB} \right \rangle=\left \| \vec{v} \right \|\cdot\left \| \vec{AB} \right \|\cdot\cos60^\circ$

$\left \langle (2,1,-1),(1,-1,m+2) \right \rangle=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2+(m+2)^2}\cdot\cos60^\circ$

$2\cdot1+1\cdot(-1)-1\cdot(m+2)=\sqrt{6}\cdot\sqrt{2+(m+2)^2}\cdot\frac{1}{2}$

$1-(m+2)=\sqrt{6}\cdot\sqrt{2+(m+2)^2}\cdot\frac{1}{2}$

Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado:

$[1-(m+2)]^2=6\cdot[2+(m+2)^2]\cdot\frac{1}{4}$

$1-2(m+2)+(m+2)^2=6\cdot[2+(m+2)^2]\cdot\frac{1}{4}$

$4-8(m+2)+4(m+2)^2=12+6(m+2)^2$

$2(m+2)^2+8(m+2)+8=0$

$(m+2)^2+4(m+2)+4=0$

$m^2+4m+4+4m+8+4=0$

$m^2+8m+16=0$

$(m+4)^2=0$

$m+4=0$

$m=-4$