Question

Sabendo que o triangulo tem medida AB=10 cm; BC=8 cm e AC= 5 cm. Ele é retângulo? Justifique sua resposta .

Answer 1

Triângulo obtusângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo interno maior que 90°, ou seja, que possui um ângulo obtuso. 

E neste caso o triângulo ABC é obtusângulo. Mas como provar isso? 

Vamos utilizar a Lei dos Cossenos, que é dada por: a² = b² + c² - 2bc ∙ cos β 

a = medida de AC = 12 cm 
b = medida de BC = 8 cm 
c = medida de AB = 7 cm 
β = medida do ângulo ABC 

Portanto, 

a² = b² + c² - 2bc ∙ cos β 

12² = 8² + 7² - 2 ∙ 8 ∙ 7 ∙ cos β 

144 - 64 - 49 = - 2 ∙ 8 ∙ 7 ∙ cos β 

cos β = -31/112 

Como cos β é igual a um valor negativo, concluímos que β > 90°. 
Logo, concluímos que realmente se trata de um triângulo obtusângulo. 


Agora, vamos calcular a medida da projeção do lado AB sobre o lado BC: 

γ = medida do ângulo ACB 
P = medida da projeção do lado AB sobre o lado BC 

cos γ = (P + b)/a 

P = a ∙ cos γ - b 

P = 12 ∙ cos γ - 8 (I) 

Utilizando novamente a Lei dos Cossenos para determinar o valor de cos γ, obtemos: 

c² = a² + b² - 2ab ∙ cos γ 

7² = 12² + 8² - 2 ∙ 12 ∙ 8 ∙ cos γ 

cos γ = 159/192 

Substituindo cos γ = 159/192 em (I), temos: 

P = 12 ∙ 159/192 - 8 

P = 9,9375 - 8 

P = 1,9375 cm 

Portanto, a medida da projeção do lado AB sobre o lado BC é P = 1,9375, que é menor que 2 cm. 

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Como sabemos que o triângulo ABC é obtusângulo e que a medida da projeção do lado AB sobre o lado BC é menor que 2 cm, podemos concluir que a alternativa correta é "D", pois não há nenhuma outra alternativa que afirma que o triângulo é obtusângulo. Mas mesmo assim vamos verificar a veracidade da alternativa "D". Segue abaixo! 

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Agora, vamos calcular a projeção do lado AB sobre o lado AC: 

α = medida do ângulo BAC 
P = medida da projeção do lado AB sobre o lado AC 

cos α = P/c 

P = c ∙ cos α 

P = 7 ∙ cos α (II) 

Utilizando novamente a Lei dos Cossenos para determinar o valor de cos α, obtemos: 

b² = a² + c² - 2ac ∙ cos α 

8² = 12² + 7² - 2 ∙ 12 ∙ 7 ∙ cos α 

cos α = 129/168 

Substituindo cos α = 129/168 em (II), temos: 

P = 7 ∙ 129/168 

P = 5,375 cm 

Portanto, a medida da projeção do lado AB sobre o lado AC é P = 5,375, que é maior que 5 cm. 


Ufa, chegamos a resposta! 

ALTERNATIVA "D"Fonte(s):http://www.youtube.com/user/valdeci55555