Question

Sabendo que o triângulo ABC é retângulo em B e que seus vértices são A( k, 2k ), B(3,1) e C(2,4). Determine k.

Answer 1

Se o triângulo é retângulo em B, então AB e BC são perpendiculares;

Sabe-se que o produto entre os coeficientes angulares de retas perpendiculares é - 1.

Segue,

Reta AB:

$m_{\overline{AB}}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\\\m_{\overline{AB}}=\frac{1-2k}{3-k}$


Reta BC:

$m_{\overline{BC}}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\\\\m_{\overline{BC}}=\frac{4-1}{2-3}\\\\m_{\overline{BC}}=\frac{3}{-1}\\\\m_{\overline{BC}}=-3$
 
   
 Por fim,

$m_{\overline{AB}}\cdot\,m_{\overline{BC}}=-1\\\\\frac{1-2k}{3-k}\cdot-3=-1\\\\-3(1-2k)=-(3-k)\\-3+6k=-3+k\\5k=0\\\boxed{k=0}$