Sabendo que o resto da divisão do polinômio
P(x)= x^5 - 2x^4 + ax^3 - x^2 + bx-2 por X+1 é -7 e que o
resto da divisão de P(x) por X-2 é 32, o resto da
divisão de P(x) por x-1 é igual a:
(A) -1 (B) -2 (C) -3 (D) 1 (E) 2
Soluções para a tarefa
Resposta: C)
Explicação passo-a-passo:
É preciso identificar os valores numéricos de a e b para poder considerar o polinômio com todos coeficientes númericos, e assim poder buscar o valor do resto da divisão de P(x) por (x-1).
Para tanto, utilizar o Teorema do resto é fundamental, o qual garante que o resto da divisão de um polinômio é igual à aplicação do oposto do número contido no divisor no próprio polinômio que está sendo dividido. Veja:
Passo 1 (T.Resto I):
(x⁵ -2x⁴ + ax³ -x² +bx -2) / (x+1) = -7
⇒ Pelo teorema do resto temos:
P (-1) = -7
∴
-1 ⁵ -2.(-1) ⁴ + a.(-1) ³ - (-1)² +b.(-1) -2 = -7
a+b = 1
Passo 2 (T.Resto II):
(x⁵ -2x⁴ + ax³ -x² +bx -2) / (x-2) = 32
⇒ Pelo teorema do resto temos:
P (2) = 32
∴
2 ⁵ -2.2 ⁴ +a.2 ³ -2 ² +b.2 -2 = 32
4a +b = 19
Passo 3 (sistema para a e b):
a +b = 1
4a +b = 19
∴ a = 6 e b = -5
Passo 4 (reescrita do polinômio):
P (x) = x⁵ -2x⁴ + 6x³ -x² -5x -2
Passo final (T.Resto III):
P (1) = 1 ⁵ -2.1 ⁴ +6.1 ³ -1 ² -5.1 -2
P (1) = -3