Question

sabendo que o produto de duas raízes da equação 5x^3-ax^2-7/2x+a=0 é 1, resolva: a) quais são as raízes dessa equação b)calcule o valor de a

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~S=\left\{x\in\mathbb{R}~|~x=\left(-\dfrac{2}{5},~\dfrac{1}{4},~4\right)\right\}~\biggr|~b)~a=\dfrac{77}{4}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar de algumas Relações de Girard.

Seja uma equação polinomial completa de grau $n$: $a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2}+\cdots+a_0=0$.

Sabemos que a soma das raízes desta equação é dada por  $S_1=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$.

A soma dos produtos das raízes duas a duas é dada por  $S_2=\dfrac{a_{n-2}}{a_n}$.

O produto das n raízes da equação é dada por $P=\dfrac{(-1)^n\cdot a_0}{a_n}$.

Temos a equação polinomial de 3º grau: $5x^3-ax^2-\dfrac{7}{2}x+2=0$ tal que o produto de duas raízes é igual a $1$.

Então, analisemos as questões:

a) Quais as raízes da equação?

Para isso, utilizaremos a propriedade da soma do produto das raízes, duas a duas e produto das raízes.

Sejam $x_1,~x_2$ e $x_3$ as raízes da equação. Pela informação do enunciado, façamos $x_1\cdot x_2=1$.

Os coeficientes da equação são $a_{n-2}=-\dfrac{7}{2}$ e $a_n=5$, logo:

$S_2=\dfrac{\left(-\dfrac{7}{2}\right)}{5}=x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3$

Definimos que $x_1\cdot x_2=1$, logo simplifique a fração e substitua o valor

$-\dfrac{7}{10}=1+x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3$

Subtraindo 1 em ambos os lados, temos

$x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3=-\dfrac{7}{10}-1\\\\\\ x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3=-\dfrac{17}{10}$

Fatorando $x_3$, temos:

$x_3\cdot(x_1+x_2)=-\dfrac{17}{10}$

Agora, utilize a fórmula para o produto das raízes, sabendo que $n=3$ e $a_{0}=2$.

$P=\dfrac{(-1)^3\cdot 2}{5}=x_1\cdot x_2\cdot x_3$

Calcule a potência e multiplique os valores, ainda lembrando que $x_1\cdot x_2=1$

$x_3=-\dfrac{2}{5}$

Este é o valor de uma das raízes da equação. Substitua este valor na que encontramos anteriormente:

$-\dfrac{2}{5}\cdot(x_1+x_2)=-\dfrac{17}{10}$

Multiplicando ambos os lados por $-\dfrac{5}{2}$, temos que

$x_1+x_2=\dfrac{17}{4}$

Podemos fazer um sistema de equações tal que

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{17}{4}\\\\ x_1\cdot x_2=1\\\end{cases}$

Isole uma das incógnitas: $x_1=\dfrac{17}{4}-x_2$  e substitua na segunda equação

$\left(\dfrac{17}{4}-x_2\right)\cdot x_2=1$

Multiplique os termos, efetuando a propriedade distributiva

$\dfrac{17x_2}{4}-{x_2}^2=1$

Multiplicando ambos os lados da equação por $4$, temos

$17x_2-4{x_2}^2=4$

Reorganize os termos

$-4{x_2}^2+17x_2-4=0$

Aplique a fórmula resolutiva para encontrar o valor desta incógnita

$x_2=\dfrac{-17\pm\sqrt{17^2-4\cdot(-4)\cdot(-4)}}{2\cdot(-4)}$

Calcule as potências e some os valores

$x_2=\dfrac{-17\pm\sqrt{289-64}}{-8}\\\\\\ x_2=\dfrac{-17\pm\sqrt{225}}{-8}$

Decompondo o radicando em fatores primos, temos que $225=15^2$, logo

$x_2=\dfrac{-17\pm15}{-8}$

Separe as raízes

${x_2}=\dfrac{-17-15}{-8}~~~ou~~~x_2=\dfrac{-17+15}{-8}$

Somando os valores e simplificando as frações, temos

${x_2}=4~~~ou~~~x_2=\dfrac{1}{4}$

Logo, sendo estas as soluções para a raiz $x_2$, podemos assumir

$x_1=\dfrac{1}{4}~~~ou~~~x_1=4$

Isto satisfaz as condições do enunciado e o conjunto das raízes desta equação é:

$S=\left\{x\in\mathbb{R}~|~x=\left(-\dfrac{2}{5},~\dfrac{1}{4},~4\right)\right\}$

b) Calcular o valor de $a$

Para isso, utilizamos a fórmula da soma das raízes.

Sabendo que $a_{n-1}=-a$, temos

$S_1=-\dfrac{(-a)}{5}=-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{4}+4$

Somando as frações

$\dfrac{a}{5}=\dfrac{-8+5+80}{20}\\\\\\ \dfrac{a}{5}=\dfrac{77}{20}$

Multiplique ambos os lados da equação por 5 e simplifique a fração

$a=\dfrac{77}{4}$

Estas são as respostas para esta questão.