Question

Sabendo que o ponto A(2,3) é equidistante dos valores B (5,7) e C (X,3) , calcule os valores da abscissa do ponto C.

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Equidistância quer dizer "mesma distância", ou seja, podemos dizer que a distância de d(AB) = d(AC).

Para calcular as distâncias, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos que leva em consideração a diferença das abscissas e ordenadas. A fórmula é dada por:

$\begin{cases} d = \sqrt{(xb - xa) {}^{2} + (yb - ya) {}^{2} } \\ou\\ d = \sqrt{(xc - xa) {}^{2} + (yc - ya) {}^{2} } \end{cases}$

Os elementos xb, xa, xb.... são os valores das abscissas e ordenadas de A, B e C.

Sabendo que uma coordenada é expressa dessa forma:

$\begin{cases} \text{M(abscissa ,ordenada) } \\ abscissa \rightarrow valor \: de \: x \\ ordenada \rightarrow valor \: de \: y \end{cases}$

Seguindo esse princípio, vamos identificar os valores:

$\begin{cases}A(2,3) \rightarrow \: xa = 2 \: \: \: ya = 3 \\ B (5,7) \rightarrow \: xb = 5 \: \: \: yb = 7\\ C (X,3) \rightarrow xc = x \: \: \: yc = 3\end{cases}$

Agora vamos começar os cálculos das distâncias de AC e BC.

I) Distância AB:

$d (ac) = \sqrt{(xc - xa) {}^{2} + (yc - ya) {}^{2} } \\ d \: (ac)= \sqrt{(5 - 2) {}^{2} + (7 - 3) {}^{2} } \\ d \: (ab) = \sqrt{(3) {}^{2} + (4) {}^{2} } \\ d \:(ab) = \sqrt{(9+ 16) } \\ d\:(ab)= \sqrt{25} \\ \boxed{d = 5 u.c}$

Reserva essa valor de AB ↑

II) Distância AC:

$d \: (bc) = \sqrt{(xc - xb) {}^{2} + (yc - yb) {}^{2} } \\ d \: (bc) = \sqrt{(x - 5) {}^{2} + (3 - 7) {}^{2}} \\ d \: (bc) = \sqrt{(x - 5) {}^{2} + ( - 4 ){}^{2} } \\ d \: (bc) = \sqrt{x {}^{2} - 10x + 25 + 16} \\ \boxed{d \: (bc) = \sqrt{x {}^{2} - 10x + 41 } }$

Reserve essa expressão de AC ↑

Como eu havia dito no começo d(AB) = d(AC), então vamos igualar as duas expressões obtidas.

$\boxed{d(ab) = d(ac)} \\ \\ 5= \sqrt{x {}^{2} - 10x + 41}$

Para eliminar as raízes, vamos elevar os dois membros da equação ao quadrado.

$(5)^{2} = ( \sqrt{x {}^{2} - 10x + 41} ) {}^{2} \\ 25 = x {}^{2} - 10x + 41 \\ x^{2} - 10x + 41 - 25 \\ \boxed{x^{2} - 10x + 16}$

Agora terá que resolver essa equação do segundo grau através de Bháskara e Delta

a = 1

b = -10

c = 16

∆ = b² - 4.a.c

∆ = (-10)² - 4.1.16

∆ = 100 - 64

∆ = 36

X = -b ± √∆ / 2.a

X = 10 ± √36 / 2.1

X = 10 ± 6 / 2

X1 = 10 + 6 / 2

X1 = 16 / 2

X1 = 8

X2 = 10 - 6 / 2

X2 = 4 / 2

X2 = 2

A Abscissa de C pode assumir esses dois valores, para que se mantenha a equidistância entre AC a AB, ou seja, mesma distância de A para C e mesma distância de A para B.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

Resposta: os valores de x para o ponto C podem ser x1= 5 e x2 = -1

Explicação passo-a-passo: Como o enunciado diz que são equidistantes logo a distância entre eles é a mesma.

Calculemos a distância entre A e B

d(A,B) = √(x2-x1)²+(y2-y1)²

d(A,B) = √(5-2)²+(7-3)²

d(A,B) = √9+16

d(A,B) = √25 => 5

Como são equidistantes, podemos dizer que a distância entre os pontos C e D é 5

Então temos

d(C,D) = √(x2-x1²+(y2-y1)²

5 = √(x-2)²+(3-7)²

5= √x²-4x+4+16

5 = √x²-4x+20

Agora elevamos os dois lados ao quadrado para remover a raiz

5²=(√x²-4x+20)²

25=x²-4x+20

x²-4x+20-25=0

x²-4x-5=0

Agora é só resolver a equação do segundo grau

x²-4x-5=0

x=-b±√∆/2a

x=-(-4)±√(-4)²-4.1.(-5)/2

x=4±√36/2

x=4±6/2

x1= 4+6/2 => 5

x2= 4-6/2 => -1

Espero ter ajudado!