Question

Sabendo que o polinômio P(x)=x^4+ax^3-10x^2+bx-12 é divisível por D(x)=(x+4)(x-3), calcule o quociente da divisão de P(x) por D(x).

Answer 1

se P(x) é divisível por D(x),então o cociente Q(x) pode ser encontrado da seguinte maneira
D(x)*Q(x)=P(x)
como P(x) tem grau 4 e D(x) tem Grau 2 Q(x) também tem grau 2 e pode ser escrito de forma genérica
P(x)=x⁴+ax³-10x²+bx-12
D(x)=x²+x-12
Q(x)=dx²+ex+f   sendo e, d , f constantes arbitrárias (escolhidas)
escrevendo na forma D(x)*Q(x)=P(x, temos
(x²+x-12)(dx²+ex+f )=x⁴+ax³-10x²+bx-12
operando a propriedade distributiva temos
dx⁴+(d+e)x³+(-12d+e+f)x²+(-12e+f)x-12f=x⁴+ax³-10x²+bx-12
usando a identidade de polinômios temos:
d=1
f=1
d+e=a
-12d+e+f=-10
-12e+f=b

assim se d=1 , f=-12 então (-12d+e+f=-10) pode ser reescrito -12+e+1=-10
e=-10+11    e=1

assim Q(x)=x²+x+1