Question

Sabendo que o polinômio p(x) = 2 x²  + mx + n é divisível por x - 1 e que quando dividido por x-2 deixa resto igual a - 5, determine m e n

Answer 1

 p(x) = 2x² + mx + n é divisível por (x - 1). Se tirarmos a raiz do divisor (x-1) teremos 1
[x - 1 = 0 ---> x = 1]
 Agora quando trocamos esse 1 por todos os 'x' do polinômio, teremos como resultado o resto da divisão, que é igual a zero. Então:
p(x) = 2x² + mx + n
0 = 2.(1)² + m.1 + n
0 = 2 + m + n

Agora quando esse polinômio é dividido por x - 2, deixa resto igual a -5. Usando a mesma propriedade anterior, tiramos a raiz do divisor: x - 2 = 0 ---> x = 2. 
 E trocamos esse valor de x no polinômio novamente, mas dessa vez igualando a -5, que será o resto. 
p(x) = 2x² + mx + n
-5 = 2.(2)² + m.2 + n
-5 = 8 + 2m + n
0 = 13 + 2m + n.

Agora que temos esses 2 sistemas, fica fácil achar m e n:
$\left \{ {{0 = 2 + m + n} \atop {0 = 13 + 2m + n}} \right.$

13 + 2m + n = 2 + m + n
13 + 2m + n - 2 - m - n = 0
11 + m = 0
m = -11.

0 = 2 + m + n
0 = 2 - 11 + n
0 = -9 + n
9 = n