Question

Sabendo que o log2 = 0,3, log3 = 0,5 e log5 = 0,7. Determine o valor dos logaritmos abaixo:
a) log( base12) 15

b) log (base6) 20

c) log (base 5) 24

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

a)

log a A=x

A=a^x

15=12^x

xlog12=log15

x=log15/log12

x=1,0897996

Answer 2

Para essa questão relembremos algumas propriedades do logaritmo:

Para todo b, x, y > 0,

i) O logaritmo da multiplicação é a soma dos logaritmos

$\log_{\:b}(x\times y) = \log_{\:b}(x)+\log_{\:b}(y)$

ii) O logaritmo da divisão é a subtração dos logaritmos

$\log_{\:b}\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_{\:b}(x) - \log_{\:b}(y)$

iii) A divisão dos logaritmos de uma mesma base troca a base do logaritmo

$\dfrac{\log_{\:b}(x)}{\log_{\:b}(y)} = \log_{\: y}(x)$

Com isso temos a possibilidade de trocar de base e mudar o logaritmando (o termo que aparece dentro do parênteses) baseado nos logaritmos dados no enunciado:

$\log(2) = 0.3\\\log(3) = 0.5\\\log(5)=0.7$

Lembrando que quando o logaritmo aparece sem a base explicita, normalmente ele está na base decimal, ou seja b = 10, como é o caso do exercício de fato.

Vamos analisar caso a caso:

a) $\log_{12}(15)$

Não temos como saber logaritmo na base 12, mas temos como saber na base 10, portanto, podemos aplicar uma mudança de base (iii):

$\dfrac{\log_{\:b}(15)}{\log_{\:b}(12)} = \log_{12}(15)$

Podemos utilizar qualquer b > 0, em especial, b = 10, que sabemos facilmente:

$\log_{12}(15) = \dfrac{\log(15)}{\log(12)}$

Agora temos de avaliar log(15) e log(12). Um jeito fácil de fazer isso é decompondo os números em números que conhecemos o logaritmo (2, 3 e 5), assim, obteremos:

12 = 2*2*3

15 = 3*5

E utilizando da propriedade (i),

$\log(12) = \log(2)+\log(2)+\log(3) = 0.3+0.3+0.5 = 1.1$

$\log(15) = \log(3)+\log(5) = 0.5+0.7 = 1.2$

Assim,

$\log_{12}(15) = \dfrac{1.2}{1.1} \approx 1.09$

b) $\log_6(20)$

Fazemos exatamente a mesma coisa:

$\log_{6}(20) = \dfrac{\log(20)}{\log(6)}$

20 = 2*2*5

6 = 2*3

$\log(20) = \log(2)+\log(2)+\log(5) = 0.3+0.3+0.7 = 1.3$

$\log(6) = \log(2)+\log(3) = 0.3+0.5 = 0.8$

$\therefore \log_{6}(20) = \dfrac{1.3}{0.8} = 1.625$

c) $\log_5(24)$

$\log_{5}(24) = \dfrac{\log(24)}{\log(5)}$

24 = 2*2*2*3

$\log(24) = \log(2)+\log(2)+\log(2)+\log(2) = 0.3+0.3+0.3+0.5 = 1.4$

$\therefore \log_{5}(24) = \dfrac{1.4}{0.7} = 2$