Question

Sabendo que o log 2 =0,30 e log 3 =0,48 , qual o valor da expressão
log4 24+ log3 54+log18 4?

Answer 1

Neste exercício, vamos utilizar propriedades logarítmicas e fatoração para reescrever a expressão dada em função de termos conhecidos.

Vamos começar lembrando as duas propriedades que serão utilizadas:

$\Rightarrow~Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~\boxed{\log_b(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc}\\\\\\\Rightarrow~Propriedade~da~Troca~de~Base:~\boxed{\log_ba=\dfrac{\log_ca}{\log_cb}}$

Vamos aplicar a propriedade da troca de base nos 3 logaritmos presentes na expressão dada, deixando todas bases decimais:

$\log_424+\log_354+\log_{18}4~=~\dfrac{\log24}{\log4}~+~\dfrac{\log54}{\log3}~+~\dfrac{\log4}{\log18}$

Fatorando agora todos logaritmandos, temos:

$\log_424+\log_354+\log_{18}4~=\\\\\\=~\dfrac{\log\,(2\cdot2\cdot 2\cdot 3)}{\log\,(2\cdot 2)}~+~\dfrac{\log\,(2\cdot 3\cdot 3\cdot 3)}{\log3}~+~\dfrac{\log\,(2\cdot 2)}{\log\,(2\cdot 3\cdot 3)}$

$=~\dfrac{\log2+\log2+\log2\log3}{\log2+\log2}~+~\dfrac{\log2+\log3+\log3+\log3}{\log3}~+~\dfrac{\log2+\log2}{\log2+\log3+\log3}$

Substituindo os valores dos logaritmos, temos:

$=~\dfrac{0,30+0,30+0,30+0,48}{0,30+0,30}~+~\dfrac{0,30+0,48+0,48+0,48}{0,48}~+~\dfrac{0,30+0,30}{0,30+0,48+0,48}$

$=~\dfrac{1,38}{0,60}~+~\dfrac{1,74}{0,48}~+~\dfrac{0,60}{1,26}\\\\\\=~\dfrac{138}{60}~+~\dfrac{174}{48}~+~\dfrac{60}{126}\\\\\\=~\dfrac{23}{10}~+~\dfrac{29}{8}~+~\dfrac{10}{21}\\\\\\MMC(10,8,21)=840\\\\\\=~\dfrac{84\cdot23+105\cdot29+40\cdot10}{840}\\\\\\=~\dfrac{1932+3045+400}{840}\\\\\\=~\boxed{\dfrac{5377}{840}}~~ou~\approx~\boxed{6,40}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$