Question

Sabendo que o cubo tem comprimento de aresta 4. Mostre que BD.BH=32

Answer 1

O segmento BD é a diagonal do quadrado ABCD que tem lado 4. Então:

$d = l \sqrt{2}$

$bd = l \sqrt{2} \\ \\ bd = 4 \sqrt{2}$

Agora passamos para a outra imagem, sabendo que a aresta é 4, determinamos DH como 4 e BD 4 raiz de 2 como fizemos antes.

Só fazer Pitágoras para descobrir BH

${(4 \sqrt{2}) }^{2} + {4}^{2} = {bh}^{2} \\ \\ 16 \times 2 + 16 = {bh}^{2} \\ \\ 48 = {bh}^{2} \\ \\ bh = \sqrt{48} \\ \\ bh = 4 \sqrt{3}$

Também podemos usar a fórmula

$d = a \sqrt{3}$

De qualquer forma, a multiplicação deles seria:

$4 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{3} = 16 \sqrt{6}$

Resposta: Questão errada.

Answer 2

Resposta: P = IBHI . IBHI . cos ∡ DBH = 32

Explicação passo a passo:

Aqui você tem o produto escalar de dois vetores.

O produto escalar de dois vetores é o produto do módulo dos dois vetores  multiplicado pelo cosseno do ângulo formado entre eles.

P = IBHI . IBHI . cos ∡ DBH

Aplicando Pitágoras no Δ ABD é determinado o valor do módulo de BD[se você já souber é o valor a da diagonal da face do cubo = a√2 = 4√2]

(BD)² = (AB)² + (AD)²

(BD)² + 4² + 4² = 16 + 16  = 32

(BD) = √32 = √[(16)(2)] = √[(4)²(2)] = 4√2 => IBDI = 4√2

Aplicando Pitágoras no Δ BDH é determinado o valor do módulo de BH[se você já souber é o valor a da diagonal do cubo = a√3 = 4√3]

(BH)² = (BD)² + (HD)²

(BH)² = (4√2)² + 4² = 32 + 16 = 48

(BH) = √48 = √[(16)(3)] = √[(4)²((3)] = 4√3 => IBHI = 4√3

Para determinar o cos ∡ DBH você aplica a definição de cosseno no ΔDBH,

cos ∡ DBH = cateto adjacente/hipotenusa = BD/BH =  4√2/4√3 = √2/√3

P = IBHI . IBHI . cos ∡ DBH = 4√2 . 4√3.√2/√3 = 16(√2)² = 16(2) = 32