Question

Sabendo que o cosx = 3/4 e que 0 < x < pi/2, calcule cos x/2

Answer 1

Resposta:

0 < x < pi/2  ...1ª quadrante ... cos x>0

e cos(x/2) é também do 1ª quadrante ..cos(x/2) >0

cos( a+a)==cos²a-sen²a =2cos²(a) -1

cos(x) =cos(x/2+x/2) =2* cos²(x/2) -1

3/4 = 2 * cos²(x/2) -1

3/4+1 =2*cos²(x/2)

7/4 =2*cos²(x/2)

7/8 =cos²(x/2)

cos(x)=√(7/8) =√7/2√2 =(√14)/4

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Almeida, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: sabendo-se que cos(x) = 3/4, e que o arco "x" está no seguinte intervalo: 0 < x < π/2  (o que equivale ao primeiro quadrante, local em que todas as funções trigonométricas são positivas), pede-se para determinar o valor de cos(x/2).

ii) Antes de iniciar, note que há as seguintes fórmulas para o cálculo do chamado "arco-metade":

sen(x/2) = ± √[(1-cos(x))/2]    . (I).

cos(x/2) = ± √[(1+cos(x))/2]     . (II).

tan(x/2) = ± √[(1-cos(x))/(1+cos(x))].     (III).

iii) No caso da sua questão, como queremos saber o valor do arco-metade relativo a cos(x/2), então vamos utilizar a expressão (II) acima:

cos(x/2) = ± √[(1+cos(x))/2] ---- mas como já sabemos que arco "x" está no primeiro quadrante (onde todas as funções trigonométricas são positivas), então vamos deixar de utilizar o sinal de (±), pois já sabemos que o cos(x/2) será positivo. E como já vimos que cos(x) = 3/4, então iremos ficar com:

cos(x/2) =  √[(1+3/4))/2] ----- como "1+3/4 = (4*1+1*3)/4 = (4+3)/4 = 7/4", então teremos:

cos(x/2) =  √[(7/4)/2] ---- note que "(7/4)/2 = (7/4*2) = (7/8)". Assim, substituindo-se, teremos:

cos(x/2) = √(7/8) ------- note que isto é equivalente a:

cos(x/2) = √(7)/√(8) ----- note que √(8) = √(2³) = √(2².2) = 2√(2). Assim, ficaremos com:

cos(x/2) = √(7) / 2√(2) ---- para racionalizar, vamos multiplicar numerador e denominador por √(2). Fazendo isso, teremos:

cos(x/2) = √(7)*√(2) / 2√(2)*√(2) ----- desenvolvendo, teremos:

cos(x/2) = √(7*2) / 2√(2*2) ----- continuando o desenvolvimento, temos:

cos(x/2) = √(14) / 2√(4) ----- como √(4) = 2, teremos:

cos(x/2) = √(14) / 2*2 ---- e finalmente, como "2*2 = 4", teremos:

cos(x/2) = √(14) / 4 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este será o valor do arco-metade relativo a cos(x/2) da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.