Question

Sabendo que o cos x = 1/4, determine o valor da
expressão:

$\frac{ \sec \: x \times \: \csc \: x \: - \: \sec^{2} \:x \: }{ \cot \: x \: - \: 1 }$

Answer 1

Se cos(x) = 1/4, então:

$sen^2(x) + cos^2(x) = 1 \\ \\ sen^2(x) + (\frac{1}{4})^2 = 1 \\ \\ sen^2(x) + \frac{1}{16} = 1 \\ \\ sen^2(x) = 1 - \frac{1}{16} \\ \\ sen^2(x) = \frac{15}{16} \\ \\ sen(x) = \frac{\sqrt{15}}{4} \\ \\ \\ \\ Tg(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)} = \frac{\sqrt{15}/4}{1/16} \\ \\ Tg(x) = \frac{\sqrt{15}}{4}.\frac{16}{1} = 4 \sqrt{15}$

Até aqui tudo bem, mas a maior parte que a galera confunde é aqui:


Cossecante (cossec): inverso de seno

Secante (sec): inverso do cosseno

Cotangente (cotg): inverso da tangente

Então:

$sec(x) = \frac{1}{cos(x)} \\ \\ sec(x) = 4 \\ \\ \\ \\ cossec(x) = \frac{1}{sen(x)} \\ \\ cossec(x) = \frac{4}{\sqrt{15}}.\frac{(\sqrt{15})}{(\sqrt{15})} = \frac{4 \sqrt{15}}{15} \\ \\ \\ \\ cotg(x) = \frac{1}{tg(x)} \\ \\ cotg(x) = \frac{1}{4 \sqrt{15}}. \frac{ \sqrt{15} }{ \sqrt{15} } = \frac{ \sqrt{15} }{60 }$


Agora à conta:

$\frac{sec(x). cossec(x) - sec^2(x)}{cotg(x) - 1} = \frac{4. \frac{4 \sqrt{15} }{15}- (4)^2}{ \frac{ \sqrt{15} }{60} - 1} \\ \\ \\ \frac{ \frac{16 \sqrt{15} }{15} - 16}{ \frac{ \sqrt{15} -60 }{60}} \\ \\ \\ \frac{16 \sqrt{15} - 240}{15}. \frac{60}{ \sqrt{15} - 60} = \frac{64 \sqrt{15} - 960}{\sqrt{15} - 60}. \frac{\sqrt{15} + 60}{\sqrt{15} + 60} = \frac{56640 + 2880\sqrt{15} }{3585}$

Conta bem estranha, o processo é esse, acho que está certo.