Sabendo que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial, determine uma base para o conjunto solução do sistema linear seguinte:
x + y + z = 0
2x - y - 3z = 0
x - 2y - 4z = 0
Soluções para a tarefa
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Uma base para o conjunto solução do sistema linear seguinte é B = {(2/3,-5/3,1)}.
Da terceira equação, podemos dizer que x = 2y + 4z.
Substituindo o valor de x na segunda equação:
2(2y + 4z) - y - 3z = 0
4y + 8z - y - 3z = 0
3y + 5z = 0
3y = -5z
y = -5z/3.
Assim:
x = 2.(-5z/3) + 4z
x = -10z/3 + 4z
x = 2z/3.
Substituindo os valores de x e y na primeira equação:
2z/3 - 5z/3 + z = 0
-3z/3 + z = 0
-z + z = 0
0 = 0.
Temos, então, que o sistema é possível e indeterminado.
O conjunto solução para esse sistema é: S = {(2z/3,-5z/3,z) / z ∈ IR}.
Para determinarmos uma base, observe que:
(2z/3,-5z/3,z) = z(2/3,-5/3,1).
O vetor (2/3,-5/3,1) é linearmente independente.
Portanto, uma base é B = {(2/3,-5/3,1)}.
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