Question

Sabendo que o campo vetorial dado pela função abaixo é conservativo, determine a função potencial e assinale a alternativa correta:
F(x,y,z)=(yx+2)i+(xz+1)j+(xy+2z)z)k

Answer 1

Por meio de integrações sucessivas do campo vetorial, temos que nossa função potencial é dada por: $U=xyz+2x+y+z^2+\xi$

Explicação passo-a-passo:

Temos então:

$F(x,y,z)=(yz+2)\vec{i}+(xz+1)\vec{j}+(xy+2z)\vec{k}$

Se este é um campo conservativo então sabemos que podemos escrever F como:

$F(x,y,z)=\vec{\nabla}U$

Sendo U a função potencial. Então separando U em 3 derivadas:

$\frac{dU}{dx}=yz+2$

$\frac{dU}{dy}=xz+1$

$\frac{dU}{dz}=xy+2z$

Integrando a primeira equação, temos:

$\frac{dU}{dx}=yz+2$

$U=xyz+2x+C$

Onde C é uma constante de integração, mas como integramos em C, pode ser que C dependa de y e z, então:

$U=xyz+2x+C(y,z)$

Para descobrirmos C, vamos derivar em y esta função:

$U=xyz+2x+C(y,z)$

$\frac{dU}{dy}=xz+\frac{dC(y,z)}{dy}$

Comparando com a derivada de função U em y anterior:

$\frac{dU}{dy}=xz+\frac{dC(y,z)}{dy}=xz+1$

Então temos que:

$\frac{dC(y,z)}{dy}=1$

Integrando em y:

$C(y,z)=y+K(z)$

Onde K é outra constante de integraçã oque pode depender de z. Então voltando a função potencial:

$U=xyz+2x+C(y,z)$

$U=xyz+2x+y+K(z)$

Agora para descobrirmos K, vamos derivar em z:

$\frac{dU}{dz}=xy+\frac{K(z)}{dz}$

Comparando com a derivada em z anterior:

$\frac{dU}{dz}=xy+\frac{K(z)}{dz}=xy+2z$

Temos que:

$\frac{K(z)}{dz}=2z$

Integrando em z:

$K=z^2+\xi$

Onde $\xi$ é uma constante de integração que não depedente de variavel nenhuma, então nossa função potencial é:

$U=xyz+2x+y+z^2+\xi$