Question

Sabendo que o angulo entre os vetores u=(2,1,-1) e v = (1,-1,m+2) é $\pi /3$ determine m

Answer 1

$cos( \alpha ) = \frac{\ \textless \ u, v\ \textgreater \ }{||u||.||v||}$
$\alpha = \frac{ \pi }{3}$
$\frac{1}{2} = \frac{\ \textless \ (2, 1, -1),(1, -1, m+2)\ \textgreater \ }{ \sqrt{ 2^{2} + (1)^{2} + (-1)^{2} } \sqrt{ 1^{2} + (-1)^{2} + (m+2)^{2} } }$
$\frac{1}{2} = \frac{-1-m}{ \sqrt{6} \sqrt{ m^{2} + 4m + 6} }$
$-2(m+1) = \sqrt{6( m^{2} + 4m + 6)}$

Elevando ambos os membros ao quadrado.

$4( m^{2} + 2m + 1) = 6( m^{2} + 4m + 6)$

Dividindo ambos os membros por 2 e efetuando as operações.

$2 m^{2} + 4m + 2 = 3m^{2} + 12m + 18$

$m^{2} + 8m + 16 = 0$

Utilizando o método de Bhaskara encontramos uma única solução que é m = -4

Answer 2

O valor de m é -4.

Considere que temos dois vetores: u e v.

O ângulo entre os vetores é calculado pela fórmula:

• $cos(\alpha)=\frac{<u,v>}{||u||||v||}$.

De acordo com o enunciado, temos os vetores u = (2,1,-1) e v = (1,-1,m + 2).

O produto interno entre u e v é igual a:

<u,v> = 2.1 + 1.(-1) + (-1).(m + 2)

<u,v> = 2 - 1 - m - 2

<u,v> = -1 - m.

A norma do vetor u é igual a:

||u||² = 2² + 1² + (-1)²

||u||² = 4 + 1 + 1

||u||² = 6

||u|| = √6.

Já a norma do vetor v é:

||v||² = 1² + (-1)² + (m + 2)²

||v||² = 1 + 1 + m² + 4m + 4

||v||² = m² + 4m + 6

||v|| = √(m² + 4m + 6).

Como α = π/3 e cos(π/3) = 1/2, então temos que:

$\frac{1}{2}=\frac{|-1-m|}{\sqrt{6}.\sqrt{m^2+4m+6}}$

√(6m² + 24m + 36) = 2(|-1 - m|)

6m² + 24m + 36 = 4(1 + m)²

6m² + 24m + 36 = 4(1 + 2m + m²)

6m² + 24m + 36 = 4 + 8m + 4m²

2m² + 16m + 32 = 0

m² + 8m + 16 = 0

(m + 4)² = 0

m + 4 = 0

m = -4.

Exercício sobre vetor: https://brainly.com.br/tarefa/18172961