Question

Sabendo que na sequência (30, 60, x, y) os três primeiros termos estão em PA e os três últimos em PG, determine os valores de x e y
a )
PA (30, 60, 90); PG (60, 90, 180)

b )
PA (30, 60, 120); PG (60, 95, 135)

c )
PA (30, 60, 90); PG (60, 90, 135)

d )
PA (30, 60, 90); PG (60, 90, 130)

e )
PA (30, 60, 95); PG (60, 95, 135)

Answer 1

Resposta:

Alternativa c)

Explicação passo a passo:

PA (30,60,x)

A razão (r):

r=60-30

r=30

r=x-60

Substituindo r=30 em r=x-60

30=x-60

x=60+30

x=90

PA (30,60,90)

PG (60,90,y)

A razão (q)

q=90/60=90÷30/60÷30=3/2

q=y/90

Substituindo q=3/2 em q=y/90

3/2=y/90, multiplicando em cruz

y=90.3/2

y=45.3

y=135

PG (60,90,135)

Answer 2

De acordo com os dados do enunciado e feito a resolução concluímos que os valores de x = 90 e y = 135 e tendo alternativa correta a letra C.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf (\: 30, 60, x, y\:) \\\sf os ~ tr\hat{e}s ~ primeiros ~ termos \to P.A \\\sf os ~ tr\hat{e}s ~ \acute{u}ltimos ~ termos \to P.G \\\sf x = \:? \\\sf y = \:? \end{cases} } }$

Solução:

Revisando os três termos desconhecidos e consecutivos da P. A e P. G.

Tomando-se três termos consecutivos $\textstyle \sf \sf (\: \dotsi, a_{n-1} , a_n , a_{n+1} , \dotsi \:)$, temos o termo central é a média aritmética:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+ 1} }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 60 = \dfrac{30 + x }{2} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 30+ x = 2 \cdot 60 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 30+x = 120 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x = 120-30 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 90 }$

Portanto, a sequência da P.G ( 30, 60, 90 ).

Da definição $\textstyle \sf \sf (\: \dotsi, a_{n-1} , a_n , a_{n+1} , \dotsi \:)$ estão em P.G, então:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{a_n}{a_{n-1} } = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \Rightarrow a_n^2 = a_{n-1} \:\cdot \: a_{n+1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} = 60 \cdot y } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 60y = (90)^2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 60y = 8\:100 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{8\:100}{90} } }$

 $\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 135 }$

Logo, a sequência da P.G ( 60, 90, 135 ).

Alternativa correta é a letra C.

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