Sabendo que log2=a e log3=b Calcule A em função de B
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Manuela, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se: sabendo-se que log (2) = a e log (3) = b, calcule, em função de "a" e de "b" os seguintes logaritmos, que vamos igualar, cada um, a um certo "y", apenas para deixá-los igualados a alguma coisa:
a)
y = log (1,5) ----- note que "1,5 é a mesma coisa que 15/10". Assim, ficaremos com:
y = log (15/10) ---- vamos transformar a divisão em subtração (é uma propriedade logarítmica). Assim, ficaremos:
y = log (15) - log (10) ---- note que 15 = 3*5. Assim, ficaremos com:
y = log (3*5) - log (10) --- vamos transformar o produto em soma (também é uma propriedade logarítmica). Assim, teremos;
y = log (3) + log (5) - log (10) ----- veja que 5 = 10/2. Assim, ficaremos com:
y = log (3) + log (10/2) - log (10) ---- vamos novamente transformar a divisão em subtração, ficando assim:
y = log (3) + log (10) - log (2) - log (10) ----- reduzindo os termos semelhantes, iremos ficar apenas com (note que: +log (10) se anula com: -log (10) ):
y = log (3) - log (2) ----- substituindo-se log (3) por "b" e log (2) por "a", teremos:
y = b - a <--- Esta é a resposta para o item "a". Ou seja, este é o valor de log (1,5) em função de "a" e de "b".
b)
y = log ∛(1,8) ----- note que ∛(1,8) = (1,8)¹/³. Assim, substituindo, teremos;
y = log (1,8)¹/³ ---- passando o expoente "1/3" multiplicando (é outra propriedade logarítmica), teremos:
y = (1/3)*log (1,8) ----- note que 1,8 é a mesma coisa que 18/10. Assim, teremos:
y = (1/3)*log (18/10) ---- vamos transformar a divisão em subtração, ficando:
y = (1/3)*[log (18) - log (10)] ---- note que 18 = 2*3². Assim, substituindo, teremos:
y = (1/3)*[log (2*3²) - log (10)] ---- vamos transformar o produto em soma, ficando:
y = (1/3)*[log (2) + log (3²) - log (10)] ---- vamos passar o expoente "2" multiplicando o respectivo log. Assim:
y = (1/3)*[log (2) + 2log (3) - log (10)] ----- agora veja que: log (2) = a; log (3) = b; e log (10) = 1, pois estamos trabalhando com a base 10. Assim, fazendo essas substituições, teremos:
y = (1/3)*[a + 2b - 1] ------ ou, o que dá no mesmo:
y = (a + 2b - 1)/3 <--- A resposta poderá ficar dada desta forma para o item "b". Mas se você quiser, também poderá dividir cada fator por "3", com o que a resposta também poderia ser dada assim:
y = a/3 + 2b/3 - 1/3 <--- A resposta também poderia ficar apresentada desta forma.
Nesta questão do item "b" você escolhe como quer apresentar a resposta, ok?
c)
y = log (20.000) ----- veja que 20.000 = 2*10.000. Assim, ficaremos com:
yn = log (2*10.000) ---- vamos transformar o produto em soma, ficando:
y = log (2) + log (10.000) ---- note que 10.000 = 10⁴ . Assim, ficaremos com:
y = log (2) + log (10⁴) ---- passando o expoente "4" multiplicando o respectivo log teremos:
y = log (2) + 4log (10) ----- como log (2) = a e como log (10) = 1 (pois estamos trabalhando com a base 10), teremos:
y = a + 4*1 ---- ou apenas:
y = a + 4 <--- Esta é a resposta para o item "c".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.