Question

Sabendo que log2 8, log2 (x+9) e log2
(x+7) são as medidas em centímetros
dos lados de um triângulo e nessa?
ordem,estão em progressão
atimeticas ,qual é o perimetro desse triangulo

Answer 1

Oi Isaac,

Veja que uma sequência de 3 termos é uma PA apenas se o termo intermediário for igual à média aritmética entre os extremos. Portanto, para que os lados desse triângulo formem uma PA, é necessário que:
$log_2(x+9)= \frac{log_28+log_2(x+7)}{2}$

Para resolver essa equação vamos relembrar dois conceitos logarítmicos:
$logx^2 = 2logx \\ \\ logxy = logx+logy$

Portanto:
$log_2(x+9)= \frac{log_28+log_2(x+7)}{2} \\ \\ 2log_2(x+9)=log_2[8(x+7)] \\ \\ log_2(x+9)^2=log_2(8x+56)$

Como estamos tratando de duas bases logarítmicas iguais em ambos os termos da equação, podemos ignorá-las:
$log_2(x+9)^2=log_2(8x+56) \\ \\(x+9)^2=(8x+56) \\ \\ x^2+18x+81=8x+56 \\ \\ x^2+10x+25=0$

Chegamos numa equação quadrática, que terá como raiz:
$x^2+10x+25=0 \\ \\ \Delta = 100-4(1)(25) \\ \\ \Delta = 100-100 \\ \\ \Delta = 0 \\ \\ x = \frac{-10}{2}=\boxed{-5}$

Agora que conhecemos o valor de x, vamos substituí-lo nos valores dos lados desse triângulo:
$log_28 = \boxed{3cm} \\ \\ log_2(x+9)=log_2(-5+9) = log_24=\boxed{2cm} \\ \\ log_2(x+7)=log_2(-5+7)=log_22=\boxed{1cm}$

Portanto, esse triângulo tem lados 3cm, 2cm e 1cm. Logo, o seu perímetro P é:
P = 3+2+1
P = 6cm

Bons estudos!