Question

sabendo que log a na base 10 = 6 * log b na base 10; 2 * log b na base 10 = log c na base 10 e que log c na base 10 = 45, calcule o valor numerico da expressao log de raiz quinta de a^3 * b^4 sobre c^2

Answer 1

Neste exercício, vamos utilizar algumas propriedades de logaritmos e de potências. Vamos então começar listando algumas das propriedades que serão utilizadas do decorrer da resolução.

$\Rightarrow\tt{De finicao~de~logaritmo}:~~~\boxed{\log_b a=c~~\Longleftrightarrow~~a=b^c}\\\\\\\Rightarrow\tt{Logaritmo~da~potencia}:~~~\boxed{\log_{b}a^c~=~c\cdot\log_b a}\\\\\\\Rightarrow\tt{Potencia~de~expoente~logaritmico}:~~~\boxed{b^{\log_b a}~=~a}\\\\\\\Rightarrow\tt{Potencia~de~potencia}:~~~\boxed{\left(a^b\right)^c~=~a^{b\cdot c}}$

Começando pela equação "log c na base 10 = 45", podemos determinar o valor da variável "c".

$\log c~=~45\\\\\\\tt{Aplicando~a~de finicao~de~logaritmo}\\\\\\\boxed{c~=~10^{45}}$

Com o valor de "c" calculado, podemos determinar "b" pela equação "2*log b na base 10 = log c na base 10".

$2\cdot\log b~=~\log c\\\\\\\tt{Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~da~potencia}\\\\\\\log b^2~=~\log\left(10^{45}\right)\\\\\\b^2~=~10^{\log\left(10^{45}\right)}\\\\\\\tt{Propriedade~da~potencia~de~expoente~logaritmico}\\\\\\b^2~=~10^{45}\\\\\\b~=~\sqrt{10^{45}}\\\\\\\boxed{b~=~10^{\frac{45}{2}}}$

Nos resta agora determinar "a" com a última equação "log a na base 10 = 6 * log b na base 10".

$\log a~=~6\cdot \log b\\\\\\\log a~=~6\cdot \log10^{\frac{45}{2}}\\\\\\\tt{Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~da~potencia}\\\\\\\log a~=~\log\left(10^{\frac{45}{2}}\right)^6\\\\\\\tt{Aplicando~a~propriedade~da~potencia~de~potencia}\\\\\\\log a~=~\log10^{\frac{45}{2}\cdot6}\\\\\\\log a~=~\log10^{45\cdot3}\\\\\\\log a~=~\log10^{135}\\\\\\a~=~10^{\log10^{135}}\\\\\\\tt{Aplicando~a~propriedade~da~potencia~de~expoente~logaritmico}\\\\\\\boxed{a~=~10^{135}}$

Podemos agora determinar o valor da expressão solicitada:

$\log\sqrt[5]{\dfrac{a^3\cdot b^4}{c^2}}~=~\log\sqrt[5]{\dfrac{\left(10^{135}\right)^3\cdot \left(10^{\frac{45}{2}}\right)^4}{\left(10^{45}\right)^2}}\\\\\\\tt{Aplicando~a~propriedade~da~potencia~de~potencia}\\\\\\\log\sqrt[5]{\dfrac{a^3\cdot b^4}{c^2}}~=~\log\sqrt[5]{\dfrac{10^{405}\cdot 10^{90}}{10^{90}}}\\\\\\\log\sqrt[5]{\dfrac{a^3\cdot b^4}{c^2}}~=~\log\sqrt[5]{10^{405}}\\\\\\\log\sqrt[5]{\dfrac{a^3\cdot b^4}{c^2}}~=~\log10^{\frac{405}{5}}$

$\log\sqrt[5]{\dfrac{a^3\cdot b^4}{c^2}}~=~\log10^{81}\\\\\\\tt{Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~da~potencia}\\\\\\\log\sqrt[5]{\dfrac{a^3\cdot b^4}{c^2}}~=~81\cdot\log10\\\\\\\log\sqrt[5]{\dfrac{a^3\cdot b^4}{c^2}}~=~81\cdot1\\\\\\\boxed{\log\sqrt[5]{\dfrac{a^3\cdot b^4}{c^2}}~=~81}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$