Question

"Sabendo que log(20) 2 = a e log(20) 3 = b, calcule, em função de a e b o valor de log(12) 25." Resposta no livro 2-4a/2a+b ajudemmm por favorr

Answer 1

Na minha notação é

$\log_{20}(2) = a \to 20^a = 2\\\\ \log_{20}(3) = b \to 20^b = 3\\\\ \log_{12}(25) = ?$

Então

$\log_{12}(25) = \\\\ \log_{12}(5^2) = \\\\ \boxed{2\log_{12}(5)}$

Aqui precisamos notar que a base 12 pode ser reescrita por múltiplos de 2  e 3, assim podemos usar os valores em função de a e b conforme o enunciado exige.

$12 = 2^2\times3 = \\\\ (20^a)^2 \times 20^b=\\\\ 20^{2a}\times20^b=\\\\ \boxed{20^{(2a+b)}}$

Agora vamos substituir a base 12 pelos valores em função de a e b

$2\log_{12}(5) = \\\\ 2\log_{20^{(2a+b)}}(5) = \\\\ 2( \frac{1}{2a+b} \log_{20}(5)) = \\\\ \boxed{\frac{2}{2a+b} \log_{20}(5)}$

Perceba aqui que podemos escrever o número 5 utilizando a razão da base do log por 4, assim temos

$\frac{2}{2a+b} \log_{20}(5) = \\\\ \frac{2}{2a+b} \log_{20}( \frac{20}{4} )=\\\\ \frac{2}{2a+b}(\log_{20}(20) - \log_{20}(4))=\\\\ \frac{2}{2a+b}(1 - \log_{20}(4))=\\\\ \frac{2}{2a+b}(1 - \log_{20}(2^2))=\\\\ \frac{2}{2a+b}(1 - 2\log_{20}(2)) \to \boxed{\log_{20}(2) = a\text{, ent\~ao:}}=\\\\ \frac{2}{2a+b}(1 - 2a)=\\\\ \frac{2}{2a+b}-\frac{4a}{2a+b}=\\\\\\ \boxed{\frac{2-4a}{2a+b}}\checkmark$