Question

Sabendo que log 2=m,log 3=n e log 5=p.calcule o log 10/9

Answer 1

Esse exercício possui duas respostas (ambas corretas), assim vou deixar as duas resoluções.

Antes de começar, vamos lembrar de duas propriedades logarítmicas que serão utilizadas:

$Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\log_b(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc}\\\\\\Propriedade~do~Logaritmo~do~Quociente:~~\boxed{\log_b\left(\dfrac{a}{c}\right)=\log_ba-\log_bc}$

1ª Solução

Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente:

$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)~=~\log10-\log9$

Fatorando os logaritmandos '10' e '9':

$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)~=~\log\,(2\cdot 5)-\log\,(3\cdot 3)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)~=~\left(\log2+\log5\right)-\left(\log3+\log3\right)$

Substituindo o valor dos logaritmos dados pelo enunciado:

$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)~=~\left(m+p\right)-\left(n+n\right)\\\\\\\boxed{\log\left(\dfrac{10}{9}\right)~=~m+p-2n}~~\Rightarrow~Resposta$

2ª Solução

Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente, como feito anteriormente:

$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)~=~\log10-\log9$

Neste ponto vem a diferença. Lembre que o logaritmo onde a base e o logaritmando são iguais sempre valerá 1 $\left(\log_bb=1\right)$, ou seja, sabemos que o logaritmo decimal de 10 vale 1, portanto:

$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)~=~1-\log9$

O resto da solução segue semelhante ao apresentado na primeira.

Fatorando o logaritmando '9':

$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)~=~1-\log\,(3\cdot 3)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)~=~1-\left(\log3+\log3\right)$

Substituindo o valor dos logaritmos dados pelo enunciado:

$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)~=~1-\left(n+n\right)\\\\\\\boxed{\log\left(\dfrac{10}{9}\right)~=~1-2n}~~\Rightarrow~Resposta$

Obs.: Note que é possível afirmar inclusive que a soma (m+p) vale 1.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$