Question

Sabendo que k é um inteiro positivo e a e b são números reais positivos com a ≥ b tais que.

$\mathsf{k = \dfrac{ab+b^2}{ab+a^2}+\dfrac{b^8 - a^8}{(a+b)^4}}$


Determine k.

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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

O inteiro k é dado pela expressão:

$k=\underbrace{\dfrac{ab+b^2}{ab+a^2}}_{X}+\underbrace{\dfrac{b^8-a^8}{(a+b)^4}}_{Y}$

Vamos analisar os termos X e Y destacados separadamente. Para X:

$X=\dfrac{ab+b^2}{ab+a^2}\\\\ X=\dfrac{b(a+b)}{a(a+b)}\\\\ X=\dfrac{b}{a}$

Como $a$ e $b$ são reais positivos com $a\ge b$, temos que $0 < X \le 1~~~(i)$.

Para Y:

$Y=\dfrac{b^8-a^8}{(a+b)^4}$

O denominador é positivo, já que é o quadrado da soma de dois números reais. Assim, o sinal da expressão depende apenas do numerador. Usando novamente que $a \ge b$, temos que $b^8-a^8\le0$. Então, $Y \le 0~~~(ii)$

Unindo (i) e (ii), podemos concluir que $X+Y\le1$, ou seja, $k \le 1$. Porém, é dito que $k$ é um número inteiro positivo. Portanto, o único valor possível para $k$ é $\boxed{k=1}$, que ocorre quando $a=b$.