Question

sabendo que i elevado a 2 = -1, o valor de i elevado a 2424 + i elevado a 2001 é:
a) 1+ i
b) 1- i
c) - 1+ i
d) - 1 -i ​

Answer 1

Vamos começar lembrando que as potencias da unidade complexa "i" obedecem um ciclo, veja:

$\left\{\begin{matrix}i^1&=&i \\ i^2&=&-1 \\ i^3&=&-i \\ i^4&=&1 \end{matrix}\right.$

A partir dai, os valores começam a se repetir, ou seja, i⁵=i , i⁶=-1, i⁷=-i ....

Com isso, podemos utilizar as propriedade de potencias para "transformar" a expressão dada.

$i^{2424}~+~i^{2001}~=\\\\\\=~i^{\,4\,.\,606}~+~i^{\,4\,.\,500\,+\,1}\\\\\\Utilizando~a~propriedade~do~produto~de~potencias\\\\\\=~i^{\,4\,.\,606}~+~i^{\,4\,.\,500}\,.\,i^1\\\\\\Utilizando~a~propriedade~da~potencia~de~potencia\\\\\\=~\left(i^4\right)^{606}~+~\left(i^4\right)^{500}~.~i$

$Substituindo~os~valores~conhecidos\\\\\\=~(1)^{606}~+~(1)^{500}~.~i\\\\\\=~1~+~1~.~i\\\\\\=~\boxed{1+i}$

Resposta: Letra (a)