Question

Sabendo que i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1 e i^3 = -i, o valor da soma (1+i) + (1+i)^2 + (1+i)^3 + ... + (1+i)^51 é:

A

0

B

1

C

2^26 .i


D

-2^26.i

E

-1 + (1+2^26).i

Answer 1

Temos a sequência.

$(\text{1+i})+(\text{1+i})^2+(\text{1+i})^3+...+(\text{1+i})^{51}$

isso é a soma de Progressão geométrica (PG), onde :

$\text a_1 = (\text{1+i})$

$\text q = (\text{1+i})$

$\text n =51$  

Então vamos substituir na fórmula da soma dos termos de um PG :

$\displaystyle \text{S}_\text n=\frac{\text a_1.(\text q^{\text n} - 1 )}{\text q-1}$

$\displaystyle \text{S}_{51}=\frac{(\text{1+i}).((\text{1+i})^{51} - 1 )}{(\text{1+i})-1}$

$\displaystyle \text{S}_{51}=\frac{(\text{1+i})^{52} -(\text{1+i}) }{\text{i}}$

Vamos desenvolver esse termo :

$(\text{1+i})^{52} \to [(\text{1+i})^{2}]^{26} \to [2\text i]^{26} \to 2^{26}.\text i^{26}$

$\text i^{26} = [\text i^{2}]^{13} = (-1)^{13} = -1 \to = \text i^2$

Portanto :

$2^{26}.\text i^{26} = 2^{26}.\text{i}^2$

Substituindo na equação da soma dos termos :

$\displaystyle \text{S}_{51}=\frac{(\text{1+i})^{52} -(\text{1+i}) }{\text{i}}$

$\displaystyle \text{S}_{51}=\frac{2^{26}.\text i^2-1-\text i}{\text{i}}$

Vou substituir assim :

-1 = i²

-i = i³

substituindo :

$\displaystyle \text{S}_{51}=\frac{2^{26}.\text i^2 +\text i^2+ \text i^3 }{\text{i}}$

Simplificando todos por i :

$\displaystyle \text{S}_{51}=2^{26}.\text i +\text i+ \text i^2$

$\displaystyle \text{S}_{51}=2^{26}.\text i +\text i-1$

Só colocando o i em evidência, temos :

$\huge\boxed{\bold{\displaystyle \text{S}_{51}=-1+(1+2^{26}).\text i }}$

Letra E