Question

Sabendo que G(1,1) é o baricentro do triangulo de vértices A (4,2), B(-3,2) e C (2,1). Quanto aos lados, assinale a alternativa que consta o valor de x e y, respectivamente.
A) 1 e 1
B) 1 e 2
C) -1 e 2
D)2 e -1
E) 3 e 2

Answer 1

(xg ; yg)=[(x1+x2+x3)/3  ; (y1+y2+y3)/3]

1=(4-3+x)/3  ==>3=1+x  ==>x=2

1=(2+2+y)/3 ==>3=4+y  ==>y=-1

Letra D

Answer 2

Resposta: $x=2$ e $y=-1$. Com isso a alternativa D) está correta.

Explicação passo-a-passo:

Considere $A=(x',y')$, $B=(x'',y'')$ e $C=(x''',y''')$ três pontos quaisquer e não colineares, com $x',\ x'',\ x''',\ y',\ y'',\ y'''\ \in\ \mathbb{R}$. Devido ao fato da não-colineridade deles, depreende-se que $A=(x',y')$, $B=(x'',y'')$ e $C=(x''',y''')$ são vértices de um triângulo $\Delta\ ABC$. Existindo o triângulo $\Delta\ ABC$, existirá também o seu baricentro $G$, que por sua vez é ponto de concurso de suas três medianas. Veremos que o baricentro $G$, assim como os três vértices, é um ponto (sempre interior ao triângulo) cujas coordenadas (abscissa e ordenada) podem ser facilmente obtidas em função das coordenadas de seus vértices $A$, $B$ e $C$. Da Geometria Analítica, temos que o seu baricentro $G$ é dado por:

$G=\left(\cfrac{x'+x''+x'''}{3},\cfrac{y'+y''+y'''}{3}\right)$

O exercício nos diz que os vértices do respectivo triângulo são $A=(4,2)$, $B=(-3,2)$ e $C=(x,y)$, sendo $x,\ y\ \in\ \mathbb{R}$. Também nos é dado o seu baricentro $G=(1,1)$. Sendo assim, a abscissa (coordenada $x$) do ponto $C=(x,y)$ é dada por:

$1=\cfrac{4+(-3)+x}{3}\ \ \ \Leftrightarrow$

$3=4-3+x\ \ \ \Leftrightarrow$

$3=1+x\ \ \ \Leftrightarrow$

$3-1=x\ \ \ \Leftrightarrow$

$x=2$

E a ordenada (coordenada $y$):

$1=\cfrac{2+2+y}{3}\ \ \ \Leftrightarrow$

$3=2+2+y\ \ \ \Leftrightarrow$

$3=4+y\ \ \ \Leftrightarrow$

$3-4=y\ \ \ \Leftrightarrow$

$y=-1$

Assim sendo, os valores de $x$ e $y$ são dados por $2$ e $-1$, respectivamente.

Um grande abraço!