Question

Sabendo que f(x)= 8^x - 2^x+1 e g(x)= -4^x, para quais valores de x temos f(x) + g(x) > 0 ?

Answer 1

Fazendo 2^x = a  , temos 8^x = (2^3)^x = (2^x)^3 = a^3  e 4^x=a^2 ,   e

f(x) = 8^x-2^x+1 =a^3-a+1    ;  g(x) = -4^x = - a^2    Somando  temos

f(x) + g(x) = a^3-a+1-a^2 ⇒f(x)+g(x)=a^3-a^2-a+1   e fatorando temos 

f(x)+g(x)=a^2(a-1) -1(a-1) ⇒f(x)+g(x)=(a-1)(a^2-1)

f(x)+g(x) =(a-1)(a-1)(a+1)  transformamos nossa soma em produto

f(x)+g(x) >0  ⇒ (a-1)(a-1)(a+1)>0

Vamos representar (a-1)(a-1)(a+1)   por  P  e lembrando que a=2^x  vem :

x < 0  ⇒ 0<a<1 ⇒ P > 0

x=0  ⇒ a=1  ⇒ P = 0

x> 0 ⇒ a > 1 ⇒P > 0

Resposta : f(x) + g(x) >0  para  x ≠ 0

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