Question

Sabendo que f(x)=1/x -1/x3, f(1) = 2 e 3)dx = F(x) + C, determine o valor da constante c.​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Primeiro, sabendo que $\displaystyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C}$, devemos calcular a primitiva da função:

$\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^3}\,dx}$

Para resolver esta integral, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int g(x)+h(x)\,dx=\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1,~C\in\mathbb{R}}$.
• Em particular, o caso $n=-1$ é uma integral imediata: $\displaystyle{\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx-\int\dfrac{1}{x^3}\,dx}$

Aplique a regra da potência e calcule a integral imediata. Lembre-se que $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$.

$\ln|x|-\dfrac{x^{-3+1}}{-3+1}+C$

Some os valores no expoente e denominador e efetue a propriedade de sinais

$\ln|x|-\dfrac{x^{-2}}{-2}+C\\\\\\ \ln|x|+\dfrac{1}{2x^2}+C$

Então, utilizando a condição de contorno $f(1)=2$, calculamos o valor da constante $C$:

$\ln|1|+\dfrac{1}{2\cdot 1^2}+C=2\\\\\\0+\dfrac{1}{2}+C=2$

Subtraia $\dfrac{1}{2}$ em ambos os lados da igualdade

$C=2-\dfrac{1}{2}\\\\\\ C=\dfrac{3}{2}~~\checkmark$

Este é o valor da constante de integração que buscávamos.