Sabendo que f(1) = 2, f(2) = -1 e f(0) = 1, quais são os coeficientes de a, b, c de uma função quadrática f(x) = ax² - bx + c ?
Soluções para a tarefa
Resposta:
f(x) -2x² + 3x + 1
Explicação passo-a-passo:
Para descobrir os coeficientes, devemos montar um sistema de 3 equações, através dos dados f(1) = 2, f(2) = -1 e f(0) = 1 (em que sabemos que x é igual a 1, 2 e 0, respectivamente, assim como y é igual a 2, -1 e 1, respectivamente):
2 = a(1)² - b(1) + c -> a - b + c = 2
-1 = a(2)² - b(2) + c -> 4a - 2b + c = -1
1 = a(0)² - b(0) + c -> c = 1
Com a última equação, já temos o valor de c. Assim, o substituímos nas duas primeiras equações e reformulamos um sistema de 2 equações para encontrar a e b:
a - b + c = 2 -> a - b + 1 = 2 -> a - b = 1
4a - 2b + c = -1 -> 4a - 2b + 1 = -1 -> 4a - 2b = -2
Na primeira equação, isolamos a, e depois o substituímos na segunda equação:
a - b = 1 -> a = 1 + b
4a - 2b = -2 -> 4(1 + b) - 2b = -2 -> 4 + 4b - 2b = -2 -> 4b - 2b = -2 - 4
2b = -6 -> b = -3
Ao encontrar o valor de b, basta substitui-lo na primeira equação desse terceiro sistema para encontrar o valor de a:
a = 1 + b -> a = 1 + (-3) = 1 - 3 -> a = -2
Com isso:
f(x) = -2x² - (-3)x + 1 -> f(x) -2x² + 3x + 1
Resposta:
f(x) = -x + 1, essa função parece ser quadrática, mas não é porque a = 0.
Explicação passo-a-passo:
f(x) = ax² - bx + c
f(0) = a0² - b0 + c
f(0) = 0+0+c
f(0) = c
c = 1, pois f(0) = 1, sendo assim, agora podemos escrever a função acrescentando um dado satisfatório a quem a está solucionando.
f(x) = ax²-bx+1
f(1) = a1²-b.1+1
f(1) = a-b+1
Mas f(1) = 2.
a-b+1 = 2
f(2) = a(-2)² - b(-2) + 1
f(2) = 4a+2b+1
Mas f(2) = -1
4a+2b+1 = -1
==//==
{a-b+1 = 2
{4a+2b+1 = -1
{a-b = 1
{4a+2b= -2, divide essa por 2.
{a-b = 1
{2a+b= -1, soma membro a membro.
_______
3a = 0
a = 0
b = -1
f(x) = 0.x² +(-1)x + 1
f(x) = 0 - x + 1
f(x) = -x + 1