Question

Sabendo que ݂f(1) = 1 e ݂f(2) = −2, determine:
a) a lei de formação da função ݂.f
b) O zero da função ݂.f
c) ݂f(−1).

Answer 1

Resolvendo os itens sobre uma função afim, temos que:

• a) sua lei de formação é  $f(x)=-\,3x+4$
• b) seu zero é $x=\dfrac{4}{3}$
• c) o valor de  $f(-\,1)=7$

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Item a)

Considerando uma função afim f(x) = ax + b, desejamos encontrar sua lei de formação sabendo que 1 é a imagem de 1 e que – 2 é a imagem de 2, i.e, sabendo que f(1) = 1 e que f(2) = – 2. Com base nisso podemos fazer substituições em f(x) = ax + b a fim de obter duas equações:

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Se f(1) = 1, então x = 1 e f(x) = 1:  

⇒ f(x) = ax + b  

⇒ 1 = a ⋅ 1 + b  

⇒ a + b = 1 ( ɪ )

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Se f(2) = – 2, então x = 2 e f(x) = – 2:  

⇒ f(x) = ax + b  

⇒ – 2 = a ⋅ 2 + b  

⇒ 2a + b = – 2 ( ɪɪ )

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Com isso podemos determinar os valores de a e de b. A fim de encontrar a primeiro, vamos isolar b na equação ( ɪ ):

⇒ a + b = 1

⇒ b = 1 – a

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E agora substituir seu valor na equação ( ɪɪ ):

⇒ 2a + b = – 2

⇒ 2a + (1 – a) = – 2

⇒ 2a + 1 – a = – 2

⇒ a + 1 = – 2

⇒ a = – 2 – 1

⇒ a = – 3

⠀

Veja que agora dá para substituir o valor de a na equação em que b foi isolado para encontrarmos seu valor:

⇒ b = 1 – a

⇒ b = 1 – (– 3)

⇒ b = 1 + 3

⇒ b = 4

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Portanto, a lei de formação da função f é:

⇒ f(x) = ax + b

⇒ f(x) = (– 3) ⋅ x + (4)

⇒ f(x) = – 3x + 4

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Item b)

Neste item desejamos determinar o zero da função f encontrada anteriormente, i.e, desejamos determinar o valor de x para quando f(x) = 0:

⇒ f(x) = – 3x + 4

⇒ 0 = – 3x + 4

⇒ 3x = 4

⇒ x = 4/3

Item c)

Aqui queremos determinar a imagem de – 1, i.e, queremos calcular f(– 1) na função f:

⇒ f(x) = – 3x + 4

⇒ f(– 1) = – 3 ⋅ (– 1) + 4

⇒ f(– 1) = 3 + 4

⇒ f(– 1) = 7

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$\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}$

Portanto, a resposta final de cada item é:

    $\begin{array}{l}\bullet~~a)~f(x)=-\,3x+4\\\\\bullet~~b)~x=\dfrac{4}{3}\\\\\bullet~~c)~f(-\,1)=7\end{array}$

$\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}$

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