Question

Sabendo que em um determinado poliedro existem 12 faces pentagonais e 20 faces

hexagonais, calcule a quantidade de vértices, utilizando a relação de Euler.​

Answer 1

Resposta:

60 vértices

Explicação passo-a-passo:

A relação de Euler é dada por:

V + F = A + 2

A quantidade de faces é a soma das faces pentagonais e hexagonais.

F = 12 pent + 20 hex → F = 32 faces

Uma face pentagonal tem 5 arestas.

Uma face hexagonal tem 6 arestas.

Quantidade de arestas são 5x12 (das faces pent.) + 6 x 20 (das faces hex). Porém como a quantidade de arestas foram contadas duas vezes, divide-se por 2.

A = 5x12 + 6x20/ 2 =

A = 60 + 120/2 =

A = 180/2 = 90 arestas.

Agora é só usar a relação de Euler e pronto. Fim de papo.

V + F = A + 2 (Isolando o V que é o que queremos)

V = A + 2 - F → V = 90 + 2 - 32 = 92 - 32 = 60 vértices

Obs: Como a quantidade de arestas é um pouco dificil de entender, se quiser, sugiro que pegue um cubo ou um dado por exemplo e observe. Quando você conta cada aresta por faces, você acaba contando dobrado (sempre conta a mesma aresta duas vezes). Por isso divide-se por dois para encontrar o verdadeiro número de arestas.