Question

sabendo que cosx=24/25 e 0 <x <pi/2, calcule senx/4, cosx/4 e tgx/4. resposta passo a passo

Answer 1

sen(x/2)=± √[(1-cos x)/2] (ver Nota,no final) 

neste caso,será o valor positivo,porque se tratam de ângulos do 1º Q 

sen(x/2)= √[(1-24/25)/2] = 

=√(1/50) 

Então,de cos²(x/2) + sen²(x/2) = 1 

vem cos²(x/2)= 1-1/50 
cos(x/2)=√(49/50)=7/√50=7√50/50 

E reaplicando a fórmula inicial 

sen(x/4)=sen((x/2)/2)=√[(1-cos(x/2))/2... 

=√[(1-7√50/50)/2]=√(50-7√50)/10 

Para tg(x/4) podes aplicar a fórmula 

tg(x/2)=± √[(1-cos x)/(1+cos x)] 

ou então,calcular cos(x/4) : 

cos²(x/4)=1-sen²(x/4)=1-(√(50-7√50)/10... 

=1-(50-7√50)/100=(50+7√50)/100 

portanto cos (x/4)=√(50+7√50)/10 

e tg(x/4)=sen(x/4)/cos(x/4)= 
=√(50-7√50)/√(50+7√50) 

que podes simplificar,multiplicando por conjugados,para 

tg(x/4)=√50 - 7 
____________________ 

Nota: 

As fórmulas da bisecção derivam da fórmula da duplicação 

cos(2x)=cos² x-sen² x 
=[√(50-7√50)/10]/[√(50+7√50)/10] 
substituindo cos² x por 1-sen² x 

cos(2x)=1-sen² x-sen² x 
cos(2x)=1-2 sen² x 
2 sen² x=1-cos(2x) 
sen² x=(1-cos(2x))/2 

sen(x)=± √[(1-cos 2x)/2] 

donde sen(x/2)=± √[(1-cos x)/2] 

Analogamente substituindo no início sen² x por 1-cos² x 
se obtém 

cos(x/2)=± √[(1+cos x)/2] 

e dividindo uma fórmula pela outra, 

tg(x/2)=sen(x/2)/cos(x/2) 

tg(x/2)= ± √[(1-cos x)/(1+cos x)]