Question

sabendo que cos0 - sen0 = √ 6/3, entao o valor de sen(20)é:

Answer 1

Vamos lá

Carlos, estamos entendendo que a sua questão pede o valor de sen(2Ф), sabendo-se que:

cos(Ф) - sen(Ф) = √(6)/3 ----- se for isso mesmo, então vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

[cos(Ф) - sen(Ф)]² = [√(6)/3]² ----- desenvolvendo, teremos:

cos²(Ф) - 2sen(Ф).cos(Ф) + sen²(Ф) = 6/9 ---- vamos ordenar, ficando:
sen²(Ф) + cos²(Ф) - 2sen(Ф).cos(Ф) = 6/9 ----- veja que sen²(Ф)+cos²(Ф)=1. Logo:

1 - 2sen(Ф).cos(Ф) = 6/9 ---- vamos passar "1" para o 2º membro, ficando:
- 2sen(Ф).cos(Ф) = 6/9 - 1 ---- se multiplicarmos ambos os membros por "-1", iremos ficar com:

2sen(Ф).cos(Ф) = 1 - 6/9 ---- veja que 1-6/9 = (9-6)/9 = 3/9 = 1/3 (após dividirmos numerador e denominador por "3". Assim, ficaremos:

2sen(Ф).cos(Ф) = 1/3

Mas agora veja que sen(2a) = 2sen(a).cos(a).
Então, sen(2Ф) = 2sen(Ф).cos(Ф). Assim, substituindo-se 2sen(Ф).cos(Ф) por sen(2Ф), teremos:

sen(2Ф) = 1/3  <--- Pronto. Esta será a resposta se estiver correto o nosso entendimento sobre a escrita da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.