Question

Sabendo que cos x = 24/25 e 0 < x <π/2 ,calcular sen x/4, cosx/4 e tg x/4

com resolução​

Answer 1

Resposta:

$sen\frac{x}{4}=\sqrt{\frac{10-7\sqrt{2} }{20} } \\cos\frac{x}{4}= \sqrt{\frac{10+7\sqrt{2} }{20} } \\tg\frac{x}{4}=5\sqrt{2} -7$

Explicação passo-a-passo:

$cosx = \frac{24}{25}\\cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1 + cox}{2} } =\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25} }{25} } =\sqrt{\frac{\frac{25+24}{25} }{2} }=\sqrt{\frac{49}{50} } =\frac{7}{5\sqrt{2} } =\frac{7\sqrt{2} }{10}$

$sen\frac{x}{4}=\sqrt{\frac{1-cos\frac{x}{2} }{2} } =\sqrt{\frac{1-\frac{7\sqrt{2} }{10} }{2} }=\sqrt{\frac{10-7\sqrt{2} }{20} }$

$cos\frac{x}{4} =\sqrt{\frac{1+cos\frac{x}{2} }{10} } =\sqrt{\frac{1+\frac{7\sqrt{2} }{10} }{2} }=\sqrt{\frac{\frac{10+7\sqrt{2} }{10} }{2} } =\sqrt{\frac{10+7\sqrt{2} }{20} }$

$tg\frac{x}{4}=\sqrt{\frac{1-cos\frac{x}{2} }{1 + cos\frac{x}{2} } } =\sqrt{\frac{1-\frac{7\sqrt{2} }{10} }{1+\frac{7\sqrt{2} }{10} } } =\sqrt{\frac{10-7\sqrt{2} }{10+7\sqrt{2} } }=\sqrt{\frac{(10-7\sqrt{2} )(10-7\sqrt{2)} }{(10+7\sqrt{2})(10-7\sqrt{2}) } } =\sqrt{\frac{(10-7\sqrt{2})^{2} }{100 -98} } =\frac{10-7\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2}(10-7\sqrt{2}) }{2} =\frac{10\sqrt{2}-14 }{2}=5\sqrt{2}-7$

Answer 2

Sabendo que cos x = 24/25, temos que sen x/4, cos x/4 e tg x/4 são, respectivamente, dados por: $\sqrt[]{\frac{10-7\sqrt{{2} } }{20} }$, $\sqrt[]{\frac{10+7\sqrt{{2} } }{20} }$ e $5\sqrt{2}-7$.

Para chegar a essa resposta devemos saber os conceitos envolvendo arco metade.

O que é arco metade?

• Na trigonometria, existem fórmulas a que chamamos de arco metade, por que elas trazem os cossenos, senos e tangentes do arco x/2 em função dos cossenos, senos e tangentes do arco x.
• As fórmulas de arco metade são deduzidas a partir do arco duplo e são dadas por:

        $sen (\frac{x}{2}) =$ ± $\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2} }$

        $cos (\frac{x}{2}) =$ ± $\sqrt{\frac{1+cos(x)}{2} }$

        $tg (\frac{x}{2}) =$ ± $\sqrt{\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)} }$

Utilizando as fórmulas descritas (lembrando que os valores são sempre positivos uma vez que os ângulos estão localizados no primeiro quadrante), temos que primeiro achar o cos (x/2) para poder responder a questão:

$cos (\frac{x}{2}) =$  $\sqrt{\frac{1+cos(x)}{2} }$$=\sqrt[]{\frac{1+\frac{24}{25} }2} }$$=\sqrt[]{\frac{49}{50} }=\frac{7}{5\sqrt{2} } =\frac{7\sqrt{2} }{10}$

Agora, de posse do valor de cos (x/2), podemos calcular o seno, o cosseno e a tangente de x/4:

$sen (\frac{x}{4}) =$  $\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2} }$$=\sqrt[]{\frac{1-\frac{7\sqrt{2} }{10} }2} }$$=\sqrt[]{\frac{10-7\sqrt{{2} } }{20} }$

$cos (\frac{x}{4}) =$  $\sqrt{\frac{1+cos(x)}{2} }$$=\sqrt[]{\frac{1+\frac{7\sqrt{2} }{10} }2} }$$=\sqrt[]{\frac{10+7\sqrt{{2} } }{20} }$

$tg (\frac{x}{4}) =$  $\sqrt{\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)} }$$=\frac{\sqrt[]{\frac{10-7\sqrt{{2} } }{20} }}{\sqrt[]{\frac{10+7\sqrt{{2} } }{20} }}=5\sqrt{2}-7$

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