Question

Sabendo que b=cos[(pi/3)+(pi/6)+(pi/12)+.... ] então qual é o valor de log2 |b| é ?
a) 1
b) 0
c) -1
d) -2
e) 3

Answer 1

Primeiramente, vamos computar o valor da soma infinita:

     $\mathsf{S=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{12}+\ldots}\\\\\\ \mathsf{S=\pi\cdot \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\ldots\right)}$


Perceba que as parcelas da soma formam uma progressão geométrica infinita, de razão q = 1/2, pois parcela seguinte é a metade da parcela que a precede.


Nos parênteses, temos então uma P.G. infinita, na qual

     •  o primeiro termo é  $\mathsf{a_1=\dfrac{1}{3}}$
     •  a razão é $\mathsf{q=\dfrac{1}{2}.}$


Como $\mathsf{-1<q<1,}$ a soma da P.G. infinita converge. Aplicando a fórmula, temos que

     $\mathsf{S=\pi\cdot \dfrac{a_1}{1-q}}\\\\\\ \mathsf{S=\pi\cdot \dfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}}}\\\\\\ \mathsf{S=\pi\cdot \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{2}-\frac{1}{2}}}\\\\\\ \mathsf{S=\pi\cdot \dfrac{~\frac{1}{3}~}{\frac{1}{2}}}\\\\\\ \mathsf{S=\pi\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 2}$

     $\mathsf{S=\dfrac{2\pi}{3}}$        ✔


Portanto,

     $\mathsf{b=cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{12}+\ldots\right)}\\\\\\ \mathsf{b=cos(S)}\\\\\\ \mathsf{b=cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)}\\\\\\ \mathsf{b=cos(120^\circ)}$

     $\mathsf{b=-\,\dfrac{1}{2}}$        ✔


Segue que

     $\mathsf{\ell og_2|b|=\ell og_2\left|-\,\dfrac{1}{2}\right|}\\\\\\ \mathsf{\ell og_2|b|=\ell og_2\,\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{\ell og_2|b|=\ell og_2\,(2^{-1})}\\\\ \mathsf{\ell og_2|b|=(-1)\cdot \ell og_2\,2}\\\\ \mathsf{\ell og_2|b|=(-1)\cdot 1}$

     $\mathsf{\ell og_2|b|=-1\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Resposta:  alternativa  (C)  − 1.


Bons estudos! :-)