Question

Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determinar o valor de m para o caso:
r1: y=mx+3
z=x-1

e

r2: reta por A(1,0,m) e B(-2,2m,2m)

Answer 1

Primeiramente, vamos definir o vetor direção da reta r2.

Sendo A(1,0,m) e B(-2,2m,2m) temos que o vetor AB é igual a AB(-3,2m,m).

O vetor AB é o vetor direção da reta r2.

Em r1 temos dois vetores normais: u(-m,1,0) e v(1,0,-1).

Para calcular o vetor direção de r1, precisamos calcula o produto vetorial entre (-m,1,0) e (1,0,-1):

          |i    j   k|

uxv = |-m 1 0|

          |1   0 -1|

uxv = -i - jm - k

uxv = (-1,-m,-1)

Para que r1 e r2 sejam ortogonais, então o produto interno entre os vetores (-1,-m,-1) e (-3,2m,m) é igual a 0:

(-1,-m,-1).(-3,2m,m) = 0

3 - 2m² - m = 0

2m² + m - 3 = 0

Para calcular o valor de m, utilizaremos a fórmula de Bháskara:

Δ = 1² - 4.2.(-3)

Δ = 1 + 24

Δ = 25

Como Δ > 0, então a equação possui duas soluções reais distintas:

$m = \frac{-1+-\sqrt{25}}{2.2}$

$m = \frac{-1+-5}{4}$

Portanto, os valores de m são:

$m' = \frac{-1+5}{4} = 1$

$m" = \frac{-1-5}{4} = -\frac{3}{2}$