Question

Sabendo que,

a1 = 15x15=225
a2 = 16x16=256
a3 = 17x17=289
a4 = 18x18=324
a5 = 19x19=361
a6 = 20x20=400
an = ........

a2-a1 = 256-225 = 31
a3-a2 = 289-256 = 33
a4-a3 = 324-289 = 35

Prove que a diferença entre esses quadrados perfeitos sempre resultarão nos termos de uma P.A de razão = 2.

Answer 1

O termo geral desta sequência é:

$a_n=(n+14)^2\\ \\ \boxed{a_n=n^2+28n+196}\\ \\ a_{n+1}=(n+1)^2+28(n+1)+196\\ \\ a_{n+1}=n^2+2n+1+28n+28+196\\ \\ \boxed{a_{n+1}=n^2+30n+225}\\ \\ Subtaindo \ a_{n+1}-a_n=n^2+28n+227-(n^2+28n+196)=2n+31$

Logo todas as diferenças seguem a sequência an=2n+31
como 2n são todos os pares então a sequência  final mantem sempre a diferença de 2 unidades entre dois elementos sucessivos.