Question

Sabendo que
A= {x∈Z | -3 < x ≤ 4} e
B= {x∈Z | -5 ≤ x < 2},
obtenha o número de elementos pertencentes a:

a) A∩B
b) A∪B
c) A – B
d) B – A​

Answer 1

Para um melhor entendimento da questão, representaremos esses intervalos de forma gráfica.

A = {x ∈ Z | -3 < x ≤ 4}

$-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\circ\!\!=\!\!+\!\!-\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\bullet\!\!-\!\!+\!\!-\\~~~~~~~~-3~~~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~~~~~~4$

A bolinha aberta (sem preenchimento) indica que o número não está incluso no intervalo, isto é, o intervalo inclui todos os inteiros maiores que -3, menos ele.

Já a bolinha fechada (preenchida), indica que o valor está incluído no intervalo, isto é, o intervalo inclui todos os valores menores ou iguais a 4.

B = {x ∈ Z | -5 ≤ x < 2}

$-\!\!\bullet\!\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\circ\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\\~ -5~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~~2$

ITEM A.

Teremos de calcular a interseção entre os dois conjuntos, ou seja, tudo que está em A e B ao mesmo tempo:

 $-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\circ\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\bullet\!\!-\!\!+\!\!-\\-\!\!\bullet\!\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\circ\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\\-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!\circ\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\circ\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\\~~~~~~~~~ -3~~~~~~~~~0~~~~~~~2$

Podemos dizer que apenas os valores maiores que -3 e menores que 2 correspondem a interseção entre os conjuntos A e B:

• A∩B = {x ∈ R | -3 < x < 2}

ITEM B.

Agora temos de encontrar a união entre os dois conjuntos, isto é, todos os elementos que estão em A, mais os elementos que estão em B.

$-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\circ\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\bullet\!\!-\!\!+\!\!-\\-\!\!\bullet\!\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\circ\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\\-\!\!\bullet\!\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\bullet\!\!-\!\!+\!\!-\\~-5~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~~~~~4$

Podemos deduzir que:

• A∪B = {x ∈ Z | -5 ≤ x ≤ 4}

ITEM C.

Na diferença entre conjuntos, temos que identificar todos os elementos que estão no conjunto A, e que não estão no conjunto B. Ou seja, todos os elementos de A "menos" os elementos que estão em B.

$-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\circ\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\bullet\!\!-\!\!+\!\!-\\-\!\!\bullet\!\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\circ\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\\-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!\bullet\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\bullet\!\!-\!\!+\!\!-\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~~2~~~~~~4$

Percebe-se que:

• A - B = {x  ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4}

ITEM D.

Temos o contrário do item C. Queremos todos os elementos que estão em B, menos os elementos que estão em A.

$-\!\bullet\!\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\circ\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\\-\!\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!\circ\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\bullet\!\!-\!\!+\!\!-\\-\!\!\bullet\!\!=\!\!+\!\!=\!\!\bullet\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\!\!+\!\!-\\~-5~~~-3~~~~~~~~~0$

Conclui-se que:

• B - A = {x ∈ R | -5 ≤ x ≤ 3}

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Answer 2

Conforme as operações com conjuntos:

$\large a)~A \cap B= \{-2,-1,~0, ~1\}$

$\large b)~ A \cup B= \{-5,-4,-3,-2,-1,~0, ~1,~2,~3,~4\}$

$\large c)~A - B= \{2,~3,~4\}$

$\large d)~B - A= \{-5,-4,-3\}$

Estamos tratando de conjuntos com números inteiros, portanto vamos lembrar de algumas operações:

→ ∪ = União entre conjuntos equivale à junção dos elementos dos conjuntos dados, sem repeti-los;

→ ∩ = Intersecção, indica os elementos que se repetem nos conjuntos dados;

→ Diferença (subtração) entre dois conjuntos é o conjunto dos elementos do primeiro que não estão no segundo, ou seja, deve-se subtrair do primeiro, os elementos do segundo somente se já estiverem no primeiro, caso contrário, não se subtrai nada.

Vamos verificar quais são os elementos do conjunto A e B

$\large A=\{x \in Z~ | -3 < x \leq 4\}$

Lê-se: x > -3  e  x ≤ 4  

$\large \text { \implies \boldsymbol{ A =\{ -2,-1,~0,~1,~2,~3,~4\} } }$

$\large B=\{x \in Z~ | -5 \leq x < 2\}$

Lê-se: x ≥ -5  e  x < 2

$\large \text { \implies \boldsymbol{ B =\{ -5,-4,-3,-2,-1,~0,~1\}} }$

Agora vamos às respostas:

$\large a)~ A \cap B$    

Os elementos que se repetem nos dois conjuntos A e B são:

$\large \text { \implies \boxed{A \cap B= \{-2,-1,~0, ~1\} } }$

$\large b)~ A \cup B$

Todos os elementos sem repetí-los

$\large \text { \implies \boxed{A \cup B= \{-5,-4,-3,-2,-1,~0, ~1,~2,~3,~4\} } }$

$\large c)~ A - B$

Tiramos de A, todos os elementos (de A) que existem em B:

$\large \text { \implies \boxed{A - B= \{2,~3,~4\} } }$

$\large d) ~ B-A$

Tiramos de B, todos os elementos (de B) que existem em A:

$\large \text { \implies \boxed{B - A= \{-5,-4,-3\} } }$

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