Question

Sabendo que a tgx = -3/2 e que Π/2 < x < Π, calcule o senx e cosx.

Answer 1

Sabendo que  tg x = − 3/2,  e que  π/2 < x < π,  calcular  sen x  e  cos x.


Usando a definição de tangente, temos

     $\mathrm{tg\,}x=-\,\dfrac{3}{2}\\\\\\ \dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}=-\,\dfrac{3}{2}\\\\\\ 2\,\mathrm{sen\,}x=-\,3\cos x\qquad\quad\mathbf{(i)}$


Eleve os dois lados ao quadrado:

     $(2\,\mathrm{sen\,}x)^2=(-3\cos x)^2\\\\ 4\,\mathrm{sen^2\,}x=9\cos^2 x$


Mas  cos² x = 1 − sen² x.  Substituindo, ficamos com

     $4\,\mathrm{sen^2\,}x=9\cdot (1-\mathrm{sen^2\,}x)\\\\ 4\,\mathrm{sen^2\,}x=9-9\,\mathrm{sen^2\,}x\\\\ 4\,\mathrm{sen^2\,}x+9\,\mathrm{sen^2\,}x=9\\\\ 13\,\mathrm{sen^2\,}x=9\\\\ \mathrm{sen^2\,}x=\dfrac{9}{13}\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=\pm\, \sqrt{\dfrac{9}{13}}\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=\pm\,\dfrac{3}{\sqrt{13}}$


Como  x  é do  2º  quadrante, o seno de  x  é positivo:

     $\mathrm{sen\,}x=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\qquad\quad\checkmark$


Para achar  cos x,  usamos a relação inicial da tangente:

     $\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\\\\\\ \mathrm{tg\,}x\cdot \cos x=\mathrm{sen\,}x\\\\\\ \cos x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\mathrm{tg\,}x}\\\\\\ \cos x=\dfrac{~\frac{3}{\sqrt{13}}~}{-\frac{3}{2}}\\\\\\ \cos x=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 3}{\sqrt{13}}\cdot \left(-\dfrac{2}{\diagup\!\!\!\! 3}\right)$

     $\cos x=-\,\dfrac{2}{\sqrt{13}}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)