Question

sabendo que a soma dos n primeiros termos de uma sequência é Sn=n²+3n-1, determine o oitavo termo e em seguida o n-ésimo termo ​

Answer 1

A soma dos n primeiros termos de uma sequência é:

$S_n$ = n² + 3n - 1

Portanto, a soma dos 8 primeiros termos da sequência é:

$S_8$ = 8² + 3.8 - 1

$S_8$ = 64 + 24 - 1

$S_8$ = 87

E a soma dos 7 primeiros termos da sequência é:

$S_7$ = 7² + 3.7 - 1

$S_7$ = 49 + 21 - 1

$S_7$ = 69

O oitavo termo é a diferença entre a soma dos oito primeiros termos e a soma dos sete primeiros termos:

$a_8$ = $S_8 - S_7$

$a_8$ = 87 - 69

$a_8$ = 18

Agora, vamos dar uma olhada no n-ésimo termo.

Temos:

$S_1$ = 3

$S_2$ = 9

$S_3$ = 17

$S_4$ = 27

$S_5$ = 39

$S_6$ = 53

$S_7$ = 69

$S_8$ = 87

Logo:

$a_1$ = 3

$a_2$ = 6

$a_3$ = 8

$a_4$ = 10

$a_5$ = 12

$a_6$ = 14

$a_7$ = 16

$a_8$ = 18

Podemos observar que, a partir de $a_3$ = 8, a sequência é uma progressão aritmética de razão 2. No entanto, veja que $a_1$ e $a_2$ não seguem essa lógica. Então, precisamos montar uma função que retorna o n-ésimo termo para o caso onde n ≥ 3 e outra para os casos em que n = 1 ou n = 2.

Se n ≥ 3, então temos uma progressão aritmética. Nesse caso, o n-ésimo termo é dado por:

$a_n = a_1 + r(n - 1)$

$a_n = a_1 + 2(n - 1)$

$a_n = a_1 + 2n - 2$

Vamos pegar um termo aleatório da sequência para determinar o valor de $a_1$ no caso em que n ≥ 3. Sabemos, por exemplo, que $a3$ = 8. Logo:

$a_n = a_1 + 2n - 2$

$8 = a_1 + 2.3 - 2$

$8 = a_1 + 6 - 2$

$8 = a_1 + 4$

$a_1 = 8 - 4$

$a_1 = 4$

Logo, o n-ésimo termo para o caso em que n ≥ 3 fica:

$a_n = a_1 + 2n - 2$

$a_n = 4 + 2n - 2$

$a_n = 2 + 2n$

Se tivermos n = 1 ou n = 2, perceba que o n-ésimo termo será 3n:

1 -> 3

2 -> 6

n -> 3n

Portanto, concluímos que o n-ésimo termo é:

$a_n$ = 3n, se 1 ≤ n ≤ 2

$a_n$ = 2 + 2n, se n ≥ 3