Question

Sabendo que a soma dos inversos das raízes da equação x² - (3p + 1)X + 2p=0 é igual a -1 então p é?

Answer 1

A equação do 2° grau ou equações quadráticas qualquer equação do tipo $\boldsymbol{ \textstyle \sf ax^{2} +bx +c = 0 }$ em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Se $\boldsymbol{ \textstyle \sf x_1 }$  e $\boldsymbol{ \textstyle \sf x_2 }$ são das raízes da equação, então:

Lembrando que:

Soma das raízes.

$\boxed{ \displaystyle \sf x_1 + x_2 = -\: \dfrac{b}{a} }$

Produto das raízes.

$\boxed{ \displaystyle \sf x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} }$

Somas dos inversos das raízes:

$\displaystyle \sf \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} \quad \gets {\text{\sf aplicando o m.m.c, temos: }}$

$\displaystyle \sf \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2}{x_1 \cdot x_2} + \dfrac{x_1}{x_2 \cdot x_1}$

$\displaystyle \sf \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 +x_2}{x_1 \cdot x_2}$

$\displaystyle \sf \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{-\: \dfrac{b}{a} }{\dfrac{c}{a} }$

$\displaystyle \sf \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\: \dfrac{b}{\diagup\!\!\!{ a}} \cdot \dfrac{ \diagup\!\!\!{ a} }{c}$

$\boxed{ \displaystyle \sf \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\: \dfrac{b}{c} }$

Com os dados fornecidos pelo enunciado, temos:

$\displaystyle \sf \begin{cases} \sf x^{2} -(3p+1) x +2p = 0 \\ \\ \sf \dfrac{1}{x_1} +\dfrac{1}{x_2} = -\: 1\\\\\sf p = \:? \end{cases}$

Coeficientes da equação, temos:

$\displaystyle \sf a = 1$

$\displaystyle \sf b = -\: (3p+1)$

$\displaystyle \sf c = 2p$

Substituindo os dados na equação da soma dos inversos, temos:

$\displaystyle \sf \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\: \dfrac{b}{c}$

$\displaystyle \sf -\:1 = -\: \dfrac{(-\:( 3p+1))}{2p}$

$\displaystyle \sf -\:1 = \dfrac{3p+1}{2p}$

$\displaystyle \sf 3p+1 = -\:2p$

$\displaystyle \sf 3p +2p = -\;1$

$\displaystyle \sf 5p = -\;1$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf p = -\: \dfrac{1}{5} }}}$

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