Question

Sabendo que a soma do 3º, 4º e 5º termos de uma progressão geométrica (PG) é igual a 468 e que a soma dos 6º, 7º e 8º termos é 12636, qual é o 7º termo dessa P.G.?

Answer 1

Primeiro, lembre-se que a fórmula para calcular a soma de uma PG finita é:

$S_n = \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$

Onde Sₙ é a soma dos n primeiros termos, a₁ é o primeiro termo e q é a razão da PG.

Para resolver esse problema, considere uma PG em que o primeiro termo é o terceiro termo da PG apresentada e que possui a mesma razão. Assim, nessa nova PG, a soma do 1º, 2º e 3º termo é 468 e a soma do 4º, 5º e 6º é 12636.

Depois substitua os dados na expressão da soma duas vezes, uma para a soma dos três primeiros termos e uma para soma dos seis primeiros termos:

$S_3 = \frac{a_1(q^3-1)}{q-1} \\ \\468 = \frac{a_1(q^3-1)}{q-1}$

$S_6 = \frac{a_1(q^6-1)}{q-1} \\ \\468 + 12636 = \frac{a_1(q^6-1)}{q-1} \\ \\13104 = \frac{a_1(q^6-1)}{q-1}$

Com essas duas expressões, basta descobrir o a₁ e o q. Uma forma de fazer isso é isolando o a₁ e igualando as expressões:

$468 = \frac{a_1(q^3-1)}{q-1} \\ \\468.(q-1) = a_1(q^3-1) \\ \\a_1 = \frac{468.(q-1)}{q^3-1}$

$13104 = \frac{a_1(q^6-1)}{q-1} \\ \\13104.(q-1) = a_1(q^6-1) \\ \\a_1 = \frac{13104.(q-1)}{q^6-1}$

$\frac{468.(q-1)}{q^3-1} = \frac{13104.(q-1)}{q^6-1} \\ \\\frac{468}{q^3-1} = \frac{13104}{q^6-1} \\ \\\frac{q^6-1}{q^3-1} = 28 \\ \\q^6 - 1 = (q^3 - 1).28 \\ \\q^6-1 = 28q^3 - 28 \\ \\q^6 - 28q^3 + 27 = 0$

Para resolver essa equação, considere uma incógnita x = q³ (assim, x² = q⁶):

$q^6 - 28q^3 + 27 = 0\\x^2 - 28x + 27 = 0 \\ \\soma = -\frac{-28}{1} = 28 \\ \\produto = \frac{27}{1} = 27 \\ \\x_1 = 1\,\,e\,\,x_2 = 27$

$q^3 = 1 \,\, ou \,\, q^3 = 27 \\ q = 1 \,\, ou \,\, q = 3$

Para ser possível utilizar a fórmula da soma dos termos da PG, a razão não pode ser 1. Logo, q = 3. Substitua esse valor de q em uma das expressões de soma para encontrar a₁:

$\frac{a_1(q^3-1)}{q-1} = 468 \\ \\\frac{a_1(3^3-1)}{3-1} = 468 \\ \\\frac{a_1.26}{2} = 468 \\ \\26a_1 = 936 \\ \\a_1 = 36$

Agora, basta encontrar o 5º termo dessa PG com a fórmula do termo geral (o 5º termo dessa PG é o 7º da PG original):

$a_n = a_1 . q^{n-1} \\a_5 = a_1 . q^4 \\a_5 = 36 . 3^4 \\a_5 = 36 . 81 \\a_5 = 2916$

Logo, o resultado é 2916.