Sabendo que a sequência (4y, 2y-1, y+1) é uma PG. Determine o valor de y,
a razão e os três elementos da PG. (dica: Se (a,b,c) formam uma PG, então
vale que b2 = a.c)
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Pela sequência (4y, 2y - 1, y + 1), temos:
a1 = 4y
a2 = 2y - 1
a3 = y + 1
Onde a1, a2, a3, são os 1º, 2º, 3º termos, assim a razão de uma Progressão geométrica (PG), é igual a divisão de dois termos consecutivos, ou seja:
q = a2 : a1
q = a3 : a2
Termos consecutivos, substituindo:
q = a2 : a1
q = (2y - 1) : 4y
E ainda:
q = a3 : a2
q = (y + 1) : (2y - 1)
E por fim:
q = (2y - 1) : 4y [valor de "q":]
(y + 1) : (2y - 1) = (2y - 1) : 4y
(y + 1) . 4y = (2y - 1) . (2y - 1) [Se trata assim, (2y -1) do primeiro termo, passa pro 2º multiplicando, pois estava dividindo, da mesma forma o 4y estava dividindo, passa multiplicando]
4y^2 + 4y = 4y^2 - 2y - 2y + 1 [fazendo as multiplicações em parênteses]
4y^2 + 4y = 4y^2 - 4y + 1
4y^2 - 4y^2 + 4y + 4y = 1
0 + 8y = 1
8y = 1
y = 1 / 8 [o 8 passa pro 2º termo dividindo]
y = 1/8
Temos o valor de "y", então:
4y =
4 . 1/8
(4 . 1) / 8
4/8 [simplifica por "4']
(4 : 4) / (8 : 4)
1/2
Temos o primeiro termo, o 2º:
2y - 1 =
2 . 1/8 - 1 =
2/8 - 1 =
1/4 - 1 =
1/4 - 4/4 = [perceba (4 / 4 = 1)]
(1 - 4) / 4 =
- 3/4
Temos o 1º e 2º termos, isso é mais que suficiente:
q = a2 : a1
q = - 3/4 : 1/2
q = - 3/4 . 2/1 [divisão de frações, repete a primeira e multiplica pelo inverso da 2ª]
q = (-3 . 2) / (4 . 1)
q = - 6 / 4 [simplifica por 2]
q = (-6 : 2) / (4 : 2)
q = -3 / 2
Resposta: A razão "q" é igual a -3/2.