Question

Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈ [0,4 π ], determine o comprimento da hélice C.

Answer 1

$\Rrightarrow$ O comprimento da hélice em questão é $8\pi\sqrt5 \ u.c.$

$\blacksquare$ O comprimento L do arco de uma curva parametrizada por r( t ) é calculado pela fórmula;

$\boxed{L=\int _{a}^{b}\sqrt{( D_{t} f)^{2} +( D_{t} g)^{2} +( D_{t} h)^{2}} dt}$

$\blacksquare$ Temos

$\large\begin{array}{l}r( t) =(\cos 2t,\sin 2t,4t)\\\\\Longrightarrow \begin{cases}f( t) =\cos 2t\Longrightarrow D_{t} f=-2\sin 2t\\g( t) =\sin 2t\Longrightarrow D_{t} g=2\cos 2t\\h( t) =4t\Longrightarrow D_{t} h=4\end{cases}\end{array}$

$\blacksquare$ Os quadrados das derivadas de cada função componente são:

$\large\begin{cases}( D_{t} f)^{2} =( -2\sin 2t) \cdotp ( -2\sin 2t) =4\sin^{2} 2t\\( D_{t} g)^{2} =( 2\cos 2t) \cdotp ( 2\cos 2t) =4\cos^{2} 2t\\( D_{t} h)^{2} =4^{2} =16\end{cases}$

$\blacksquare$ Do enunciado retiramos os limites de integração para o cálculo da nossa Integral, que são a = 0 e b = 4π.

Por fim, substituindo todos os valores na fórmula do Comprimento de Arco:

$\large\begin{array}{l}L=\int _{a}^{b}\sqrt{( D_{t} f)^{2} +( D_{t} g)^{2} +( D_{t} h)^{2}} \ dt\\\\L=\int _{0}^{4\pi }\sqrt{4\sin^{2} 2t+4\cos^{2} 2t+16} \ dt\end{array}$

$\blacksquare$ Podemos colocar o 4 em evidência, fazendo aparecer a identidade fundamental da trigonometria $\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1$ .

$\large \begin{array}{l}L=\int _{0}^{4\pi }\sqrt{4\left(\sin^{2} 2t+\cos^{2} 2t\right) +16} \ dt\\\\L=\int _{0}^{4\pi }\sqrt{4\cdotp 1+16} \ dt\\\\L=\int _{0}^{4\pi }\sqrt{20} \ dt\end{array}$

$\blacksquare$ Essa é uma integral da forma $\int kdx$, que resolvemos com a seguinte propriedade:

$\Large\boxed{\int kdx=kx+c}$

Portanto $\int\sqrt{20}\ dt=\sqrt{20}t$. Não precisamos colocar a constante de integração. uma vez que estamos trabalhando com uma integral definida.

$\blacksquare$ Agora, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\Large\boxed{\int _{a}^{b} f( x) dx=\Phi ( b) -\Phi ( a)}$

Em que $\Phi ( x)$ é a antiderivada ou primitiva de $f(x)$.

Logo,

$\large\begin{array}{l}L=\int _{0}^{4\pi }\sqrt{20} \ dt\\\\L=\sqrt{20}( 4\pi ) -\sqrt{20}( 0)\\\\L=\sqrt{20} \cdotp 4\pi \\\\L=2\sqrt{5} \cdotp 4\pi \\\\\boxed{\boxed{L=8\pi \sqrt{5} \ u.c.}}\end{array}$

$\blacksquare$ Portanto, podemos concluir que o comprimento da hélice parametrizada por r( t ) = (cos2t, sen2t, 4t) com 0 ≤ t ≤ 4π é $8\pi\sqrt5 u.c.$