Question

Sabendo que a matriz de uma transformação linear T: R2 ⟶ R3 nas bases A = {(−1,3), (2,0)} do R2 e
B = {(1,1, −1), (21,0), (3,0,1)} do R3 é:
[T]AB= [1 3
2 0
−1 5]
Encontrar a expressão de T(x, y) e a matriz [T].

Answer 1

A partir da matriz $[T]^A_B$ podemos concluir que:

$T(-1,3)]_B=(1,2,-1)$

$T(2,0)]_B=(3,0,5)$

Com isso podemos concluir que:

$T(-1,3)=1\cdot(1,1,-1)+2\cdot(2,1,0)-1\cdot(3,0,1)=(2,3,-2)$

$T(2,0)=3\cdot(1,1,-1)+0\cdot(2,1,0)+5\cdot(3,0,1)=(18,3,2)$

Sendo uma base, qualquer vetor $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ pode ser escrito de forma única como combinação linear dos elementos de $A$. Para determinar a lei que define essa combinação linear, vamos resolver a equação abaixo:

$(x,y)=a_1(-1,3)+a_2(2,0)$

$(x,y)=(-a_1+2a_2,3a_1)$

Daí tiramos que $3a_1=y\therefore a_1=y/3$. Da mesma forma, também temos que $-a_1+2a_2=x\therefore 2a_2=a_1+x=(3x+y)/3\therefore a_2=(3x+y)/6$. Com isso em mãos, podemos obter $T(x,y)$:

$T(x,y)=T[a_1(-1,3)+a_2(2,0)]$

$T(x,y)=T[a_1(-1,3)]+T[a_2(2,0)]$

$T(x,y)=a_1T(-1,3)+a_2T(2,0)$

$T(x,y)=\frac{y}{3}T(-1,3)+\frac{3x+y}{6}T(2,0)$

$T(x,y)=\frac{y}{3}\,(2,3,-2)+\frac{3x+y}{6}\,(18,3,2)$

$T(x,y)=(\frac{2y}{3},y,-\frac{2y}{3})+(9x+3y,\frac{3x+y}{2},\frac{3x+y}{3})$

$T(x,y)=(\frac{27x+11y}{3},\frac{3x+3y}{2},\frac{3x-y}{3})$

Daí podemos tirar a seguinte matriz de $T$:

$[T]=\begin{bmatrix}9&11/3\\3/2&3/2\\1&-1/3\end{bmatrix}$