Question

sabendo que a funçao f(x) satisfaz a igualdade ʃf(x) dx= senx -x cos x -1/2x²+c , determinar f(π /2)

Answer 1

$\int f(x) dx = \sin{x} - x \cos{x} - \frac{1}{2} x^2 +c$

Trata-se de uma equação integral, isto é, uma equação em que uma das variáveis - no caso, f(x) - encontra-se dentro de uma integral. Podemos remover a integral derivando dos dois lados com relação a x.

$\frac{d}{dx} (\int f(x)dx) = \frac{d}{dx}(\sin{x} - x \cos{x} + \frac{1}{2} x^2 +c)$

Seja F(x) a integral indefinida de f(x). Nesse caso, temos

$\frac{d}{dx} (\int f(x)dx) = \frac{d}{dx}(F(x)+c)= \frac{d}{dx}F(x)+ \frac{d}{dx}c = f(x)+0 \\ \\ \therefore \frac{d}{dx} (\int f(x)dx) = f(x)$

Substituímos esse resultando no lado esquerdo da equação inicial, 

$f(x)= \frac{d}{dx}(\sin{x} - x \cos{x} - \frac{1}{2} x^2 +c) \\ \\ \therefore f(x) = \frac{d}{dx}(\sin{x}) + \frac{d}{dx}(-x \cos{x} ) - \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} x^2 ) + \frac{d}{dx}(c) \\ \\ \therefore f(x) = \cos{x} +(-\cos{x} + x \sin{x}) - \frac{1}{2}\times 2x + 0 \\ \\ \therefore f(x) = \cos{x} -\cos{x} + x \sin{x} - x \\ \\ \therefore f(x) = x \sin{x} -x$

Feito isso, podemos substituir x = π/2 para obter a expressão desejada.

$f(x) = x \sin{x} -x \\ \\ f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \sin{\frac{\pi}{2}} -\frac{\pi}{2} \\ \\ \therefore f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}(1)- \frac{\pi}{2} = 0 \ \spadesuit$