Matemática, perguntado por kcoutto2, 7 meses atrás

Sabendo que a função F(X) = a X + B é tal que F(1) = 5 e F (-2) = -4, determine: A) os valores de A e B; B) o gráfico de F; C) o valor de X para qual F(X) = 0.

kcoutto2: a) valor de A é 3, valor de B é 2
b) f(x)= 3x+2
c)(-1)

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀Sabendo que a função afim $\small\text{$f(x)=ax+b$}$ é tal que $\small\text{$f(1)=5$}$ e $\small\text{$f(-\,2)=-\,4$}$ , determinamos em cada item que:

a) $a=3$ e $b=2$ ;
b) o gráfico está em anexo;
c) $x=-\,\frac{2}{3}$ .

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Resolução

⠀⠀Acompanhe detalhadamente a resolução de cada item. Desejamos:

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a) determinar os valores de $\large\boldsymbol{\text{$a$}}$ e $\large\boldsymbol{\text{$b$}}$ .

⠀⠀Esses são os coeficientes — angular e linear, respectivamente — da função $\small\text{$f$}$ . Há diversas formas de encontrar seus valores com base nos dados que a questão nos deu, mas o que vamos fazer aqui é determinar dois pontos $M$ e $N$ pertencentes à reta desta função: veja que se $\small\text{$f(x)=y$}$ temos um ponto genérico $\small\text{$(x~,~y)$}$ , logo se $\small\text{$f(1)=5$}$ temos $\small\text{$M(1~,~5)$}$ e se $\small\text{$f(-\,2)=-\,4$}$ temos $\small\text{$N(-\,2~,\,-\,4)$}$ . Por conseguinte, através da fórmula abaixo podemos fazer as substituições para encontrar o coeficiente angular, sendo $x_m$ e $y_m$ as coordenadas do ponto $M$ e $x_n$ e $y_n$ as coordenadas do ponto $N$ :

$\qquad\qquad\Large\begin{array}{c}a=\dfrac{y_n-y_m}{x_n-x_m}\\\\a=\dfrac{-\,4-5}{-\,2-1}\\\\a=\dfrac{-\,9}{-\,3}\\\\\!\boxed{a=3}\end{array}$

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⠀⠀E para determinar o valor do coeficiente linear podemos utilizar a fórmula abaixo:

$\qquad\Large\begin{array}{c}b=\dfrac{y_mx_n-y_nx_m}{x_n-x_m}\\\\b=\dfrac{5(-\,2)-(-\,4)1}{-\,2-1}\\\\b=\dfrac{-\,10+4}{-\,3}\\\\b=\dfrac{-\,6}{-\,3}\\\\\!\boxed{b=2}\end{array}$

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⠀⠀Portanto, $a=3$ e $b = 2$ .

Obs.: as duas formulas que usamos podem ser obtidas fazendo-se a diferença e algumas manipulações algébricas entre as funções $\small\text{$y_m=ax_m+b$}$ e $\small\text{$y_n=ax_n+b$}$ , só não demonstrei para que a resolução não ficasse muito extensa (caso queira entender melhor como chegar nelas, por favor deixe um comentário).

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b) determinar o gráfico de $\large\boldsymbol{\text{$f$}}$ .

⠀⠀Tendo o valor dos coeficientes encontrados no item a) obtemos a lei de formação da função $\small\text{$f$}$ , que é a seguinte: $\small\text{$f(x)=ax+b~\to~f(x)=3x+2$}$ . Com a função definida podemos determinar seu gráfico, e para isso podemos atribuir um(ns) valor(es) para $x$ que correspondentemente teremos o(s) valor(es) de $y$ , assim obtendo par(es) ordenado(s) $\small\text{$(x~,~y)$}$ . A ideia disso é ''jogar'' os pontos no plano cartesiano e traçar a reta que passa sobre eles. Entretanto, como já encontramos dois pontos anteriormente, para não perder tempo vamos pegá-los e colocá-los no plano, assim traçando a reta e definindo o gráfico de $\small\text{$f$}$ (VEJA O GRÁFICO EM ANEXO).

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c) determinar o valor de $\large\boldsymbol{\text{$x$}}$ para qual $\large\boldsymbol{\text{$f(x)=0$}}$ .

⠀⠀Como falei no item b), a lei de formação da nossa função é $\small\text{$f(x)=3x+2$}$ . Se queremos determinar o valor de $x$ para que a função seja nula, basta fazermos a substituição e calcular para $x$ :

$\qquad\qquad\quad\Large\begin{array}{c}f(x)=0\\\\3x+2=0\\\\3x=-\,2\\\\\!\boxed{x=-\,\dfrac{2}3}\end{array}$

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⠀⠀Portanto, $x$ deve ser igual a $-\,\frac{2}{3}$ para que $\small\text{$f(x)$}$ seja nula.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$