Question

sabendo que a equação x²-2x+(m-3)=0 tem raizes reais e iguais, qual é o valor de m?

Answer 1

Para que uma equação do 2º grau detenha raízes reais é necessário que: Δ = 0.

Dada a equação:
x² - 2x + (m - 3) = 0

Considerando-a como sendo do padrão:
ax² + bx +c = 0

Temos que:
a = 1
b = (-2)
c = (m - 3)

Utilizando a fórmula de Bhaskara, milenarmente conhecida como fórmula do amor:
Δ = b² - 4 . a . c

x' = (-b + √Δ) / 2 . a
x" = (-b - √Δ) / 2 . a 

E que nesse caso:
x' = x" ⇒ (-b + √Δ) / 2 . a = (-b - √Δ) / 2 . a

Resolvemos do seguinte modo:

Calculemos (m), sabendo que Δ = 0:
Δ = 0 = b² - 4 . a . c
0 = (-2)² - 4 . 1 . (m - 3)
0 = 4 - 4m + 12
0 = 16 - 4m
4m = (16)
m = 16 / 4
m = 4

Resposta: Para que a equação possua raízes iguais é necessário que Δ = 0, o que implica em que m = 4.

Se quiser, se pode fazer a prova-real, isto é, o raciocínio inverso, a fim de averiguar se o resultado está correto:
x² - 2x + (4 - 3) = 0
x² - 2x + 1 = 0
x² - 2x + 1 = 0

a = 1
b = (-2)
c = 1

Δ = (-2)² - 4 . 1 . 1
Δ = 4 - 4 = 0

Answer 2

O valor de m é 4.

Explicação:

Uma equação do 2° grau possui duas raízes reais e iguais quando o valor do discriminante (Δ) é igual a zero. Ou seja, Δ = 0.

Na equação x² - 2x + (m - 3) = 0, os valores dos coeficientes são:

a = 1; b = -2; c = (m + 3).

A fórmula do discriminante é:

Δ = b² - 4ac

Substituindo os valores dos coeficientes dessa equação do 2° grau, tem-se:

Δ = (-2)² - 4·1·(m - 3)

Δ = 4 - 4·(m - 3)

Δ = 4 - 4m + 12

Δ = 4 + 12 - 4m

Δ = 16 - 4m

Como Δ = 0, tem-se:

16 - 4m = 0

-4m = - 16

4m = 16

m = 16/4

m = 4

Note que assim o valor de c será: c = 4 - 3 => c = 1.

Então, o valor de Δ será:

Δ = b² - 4ac

Δ = (-2)² - 4·1·1

Δ = 4 - 4

Δ = 0

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